ВсС ΠΎ Ρ‚ΡŽΠ½ΠΈΠ½Π³Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎ

Начало тригономСтрия ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ объяснСниС для школьников. ВригономСтрия. Π‘Π±ΠΎΡ€ ΠΈ использованиС ΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ






















Назад Π’ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ просмотр слайдов ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… цСлях ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ прСдставлСния ΠΎ всСх возмоТностях ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Если вас заинтСрСсовала данная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°, поТалуйста, Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ.

1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΊ школС, ΡΠ»Ρ‹ΡˆΡƒ голоса рСбят ΠΈΠ· спортивного Π·Π°Π»Π°, ΠΈΠ΄Ρƒ дальшС – ΠΏΠΎΡŽΡ‚, Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽΡ‚β€¦ Π²Π΅Π·Π΄Π΅ эмоции, чувства. Мой ΠΊΠ°Π±ΠΈΠ½Π΅Ρ‚, ΡƒΡ€ΠΎΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, дСсятиклассники. Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ наш ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ курс Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ составляСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Π΅Π³ΠΎ объСма, ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ Π·Π°ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ – это Ρ‚Π΅ мСста, Π³Π΄Π΅ я нашла слова, Π½Π΅ относящиСся ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

К числу Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… относятся учащиСся, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»ΡŽΠ±ΡΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, чувствуСт Π΅Π΅ красоту ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π³Π΄Π΅ примСняСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»? Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ – ΠΊΡ‚ΠΎ просто выполняСт задания, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΡƒΡŽ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ. И Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ – это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ знания, достаточныС для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠΉ сдачи Π•Π“Π­ ΠΈ поступлСния Π² Π’Π£Π— (ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π°Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ).

Основная Ρ†Π΅Π»ΡŒ прСдставляСмого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° – ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сфСрах Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ учащимся ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ связь этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π² школС. Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° – элСмСнт ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ учащихся.

Π Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎ, казалось Π±Ρ‹, Π΄Π°Π²Π½ΠΎ извСстном Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π΅. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прСдстоит ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ. НСмного ΠΏΡ€ΠΈΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅Ρ€ΡŒ ΠΈ Π·Π°Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹. НСобычныС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, связь с событиями сСгодняшнСго дня – Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ я ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ для достиТСния поставлСнных Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π’Π΅Π΄ΡŒ школьная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ способствуСт Π½Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, сколько Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΡŽ личности, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹.

2. ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° (10 класс).

ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚: Π Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ столов ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ (модСль транспортира), листы с заданиями для учащихся Π½Π° столах (ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1) .

ОбъявлСниС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: β€œΠ’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ – это просто ΠΈ понятно”.

Π’ курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΌΡ‹ приступаСм ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΌΠ½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

ВСзис ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

β€œΠ’Π΅Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ, ΠΊΡ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ язык, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° написана, ΠΈ этот язык – матСматика”.
(Π“. Π“Π°Π»ΠΈΠ»Π΅ΠΉ).

Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ вмСстС, смогли Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ Π·Π°Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π² эту ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ язык, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° написана.

ВригономСтрия острого ΡƒΠ³Π»Π°.

ВригономСтрия – слово грСчСскоС ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ β€œΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²β€. Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ связано с измСрСниями Π½Π° Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ, астрономиСй. А ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ знакомство с Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ взяли Π² Ρ€ΡƒΠΊΠΈ транспортир. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ стоят столы? ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π² ΡƒΠΌΠ΅: Ссли ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ стол Π·Π° Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρƒ, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ½Π° стягиваСт?

Вспомним ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²: 1 Β° = 1/ 360 Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ окруТности (β€œΠ³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡβ€ – ΠΎΡ‚ латинского grad – шаг). Π—Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° 360 частСй, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° 10, 100 ΠΈΠ»ΠΈ 1000 частСй, ΠΊΠ°ΠΊ это происходит, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½? РасскаТу Π²Π°ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· вСрсий.

РаньшС люди считали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ЗСмля – это Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ВсСлСнной ΠΈ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Π°, Π° Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π° сутки ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, гСоцСнтричСская систСма ΠΌΠΈΡ€Π°, β€œΠ³Π΅ΠΎβ€ – ЗСмля (Рисунок β„– 1 ). ВавилонскиС ΠΆΡ€Π΅Ρ†Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠ΅ астрономичСскиС наблюдСния, ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² дСнь равнодСнствия Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π΅ ΠΎΡ‚ восхода Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ°Ρ‚Π° описываСт Π½Π° нСбСсном сводС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΈΠΊ (Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€) Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π° укладываСтся Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ 180 Ρ€Π°Π·, 1 Β° – слСд Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π°. (Рисунок β„– 2) .

Π”ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя тригономСтрия носила чисто гСомСтричСский Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€. Π’ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ знакомство с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π£Π·Π½Π°Ρ‘Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° – это Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, косинус – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, тангСнс – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ ΠΈ котангСнс – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ. И Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сторон Π½Π΅ зависят ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π—Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ синусов ΠΈ косинусов для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π’ 2010 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ московскому ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π½Ρƒ исполнилось 75 Π»Π΅Ρ‚. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь ΠΌΡ‹ спускаСмся Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ …

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 1. Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° всСх эскалаторов московского ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30 градусам. Зная это, количСство Π»Π°ΠΌΠΏ Π½Π° эскалаторС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»Π°ΠΌΠΏΠ°ΠΌΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρƒ залоТСния станции. На эскалаторС станции β€œΠ¦Π²Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ»ΡŒΠ²Π°Ρ€β€ 15 Π»Π°ΠΌΠΏ, Π° Π½Π° станции β€œΠŸΡ€Π°ΠΆΡΠΊΠ°Ρβ€ 2 Π»Π°ΠΌΠΏΡ‹. РассчитайтС, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° залоТСния этих станций, Ссли расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»Π°ΠΌΠΏΠ°ΠΌΠΈ, ΠΎΡ‚ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π° эскалатора Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π»Π°ΠΌΠΏΡ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚ послСднСй Π»Π°ΠΌΠΏΡ‹ Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° с эскалатора Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6 ΠΌ (Рисунок β„– 3 ). ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 48 ΠΌ ΠΈ 9 ΠΌ

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ . Бамая глубокая станция московского ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎ – β€œΠŸΠ°Ρ€ΠΊ ΠŸΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ‹β€. Какова Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° Π΅Ρ‘ залоТСния? ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°ΡŽ Π²Π°ΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ домашнСй Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Π£ мСня Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… лазСрная ΡƒΠΊΠ°Π·ΠΊΠ°, ΠΎΠ½Π° ΠΆΠ΅ – Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, расстояниС Π΄ΠΎ доски.

ΠšΠΈΡ‚Π°ΠΉΡΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€ Π₯ΡƒΠ°Π½ΡŒ Цяокун догадался ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ устройство Π΄Π²Π° Π»Π°Π·Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°, транспортир ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» инструмСнт, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° плоскости (Рисунок β„– 4 ). Как Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ эта Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°? ВспомнитС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов. Богласны Π»ΠΈ Π²Ρ‹ со ΠΌΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠΆΠ΅ достаточно для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅? Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь малСнькиС открытия!

БфСричСская тригономСтрия.

Помимо плоской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° (ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ) ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ свойства Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π½Π΅ Π½Π° плоскости, Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… повСрхностях, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π° повСрхности ΡˆΠ°Ρ€Π° (Рисунок β„– 5 ). ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ, залоТивший Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для развития Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π» Н.И. ЛобачСвский – β€œΠšΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π½ΠΈΠΊ гСомСтрии”. Π‘ 1827 Π³. Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 19 Π»Π΅Ρ‚ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Казанский УнивСрситСта.

БфСричСская тригономСтрия, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ сфСричСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, рассматриваСт ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½Π° сфСрС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΡƒΠ³Π°ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Π½Π° сфСрС (Рисунок β„– 6 ).

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ сфСричСская тригономСтрия ΠΈ гСомСтрия Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ ΠΈΠ· потрСбностСй астрономии, Π³Π΅ΠΎΠ΄Π΅Π·ΠΈΠΈ, Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· этих Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² послСдниС Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ Π±ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ примСняСтся Π² соврСмСнных ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…. … Π‘ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ – это систСма спутниковой Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ, которая позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ мСстополоТСниС ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΏΠΎ сигналу Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π“Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Навигационная БистСма (GPS). Для опрСдСлСния ΡˆΠΈΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ сигналы ΠΎΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… спутников. ΠŸΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ сигнала ΠΎΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ спутника позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ высоту ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Рисунок β„– 7 ).

ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ уравнСния с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ нСизвСстными Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ найдСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ всС окруТности Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (Рисунок β„– 8 ).

Знания ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ острого ΡƒΠ³Π»Π° оказались нСдостаточны для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Ρ‹. Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

ВригономСтрия ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π’ качСствС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, Π±Ρ‹Π»Π° Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Рисунок β„– 9 ). ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ – ΠΏΠΎ часовой. Π—Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ с историСй Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ соглашСния?

Как извСстно, мСханичСскиС ΠΈ солнСчныС часы устроСны Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… стрСлки Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ β€œΠΏΠΎ солнцу”, Ρ‚.Π΅. Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ каТущССся Π½Π°ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. (ВспомнитС Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° – гСоцСнтричСская систСма ΠΌΠΈΡ€Π°). Но с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ ΠšΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ истинного (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) двиТСния Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π°, Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ (Ρ‚.Π΅. каТущССся) Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ являСтся Ρ„ΠΈΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ). ГСлиоцСнтричСская систСма ΠΌΠΈΡ€Π° (Π³Π΅Π»ΠΈΠΎ – Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π΅) (Рисунок β„– 10 ).

Π Π°Π·ΠΌΠΈΠ½ΠΊΠ° .

  1. Π’Ρ‹Ρ‚ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ собой, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ повСрхности стола ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π½Π° 720 градусов.
  2. Π’Ρ‹Ρ‚ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ собой, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ повСрхности стола ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π½Π° (–1080) градусов.
  3. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ кисти Ρ€ΡƒΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΠΈ ΠΈ сдСлайтС ΠΏΠΎ 4 ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… двиТСния Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΈ Π½Π°Π·Π°Π΄. Какова сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°?

Π’ 2010 ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΈ Π—ΠΈΠΌΠ½ΠΈΠ΅ ОлимпийскиС ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ Π² Π’Π°Π½ΠΊΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅, ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ выставлСния ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ Π·Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ фигуристом ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 2. Если фигурист ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» 10 800 градусов ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ упраТнСния β€œΠ²ΠΈΠ½Ρ‚β€ Π·Π° 12 сСкунд, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ β€œΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎβ€. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ количСство ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ фигурист Π·Π° это врСмя ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ вращСния (ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² сСкунду). ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2,5 ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°/сСк.

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ . На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» поворачиваСтся фигурист, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ β€œΠ½Π΅ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎβ€, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ вращСния Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹Π»Π° 2 ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π² сСкунду.

НаиболСС ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ измСрСния Π΄ΡƒΠ³ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², связанных с Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ двиТСниями, оказалась радианная (радиусная) ΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ крупная Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ (Рисунок β„– 11 ). Π­Ρ‚Π° ΠΌΠ΅Ρ€Π° измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² вошла Π² Π½Π°ΡƒΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ Π›Π΅ΠΎΠ½Π°Ρ€Π΄Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°. Π¨Π²Π΅ΠΉΡ†Π°Ρ€Π΅Ρ† ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΎΠ½ 30 Π»Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΆΠΈΠ» Π² России, Π±Ρ‹Π» Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³ΡΠΊΠΎΠΉ АкадСмии Π½Π°ΡƒΠΊ. ИмСнно Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ обязаны β€œΠ°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉβ€ Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ всСй Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΠ½ Π²Ρ‹Π²Π΅Π» Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ сСйчас ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅, Π²Π²Π΅Π» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ:.sin x , cos x , tg x , ctg x .

Если Π΄ΠΎ 17-Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΠ° Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ учСния ΠΎ тригономСтричСских функциях ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π½Π° гСомСтричСской основС, Ρ‚ΠΎ, начиная с 17-Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΠ°, тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, элСктричСства, для описания ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… процСссов, распространСния Π²ΠΎΠ»Π½. Π’Π΅Π·Π΄Π΅, Π³Π΄Π΅ приходится ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с пСриодичСскими процСссами ΠΈ колСбаниями, нашли ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ пСриодичСских процСссов, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ особым Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠΌ присущим свойством: ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ свои значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ измСнСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. ИзмСнСния всякой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ наглядно ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ (Рисунок β„– 12 ).

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π·Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊ своСму ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΡƒ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡΠ»ΡƒΡˆΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ биСнию своСго сСрдца. Π‘Π΅Ρ€Π΄Ρ†Π΅ – ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€Π³Π°Π½. Π“ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ·Π³ управляСт любой нашСй ΠΌΡ‹ΡˆΡ†Π΅ΠΉ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ сСрдСчной. Π£ Π½Π΅Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ собствСнный Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ управлСния – синусный ΡƒΠ·Π΅Π». ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ сокращСнии сСрдца ΠΏΠΎ всСму ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΡƒ – начиная ΠΎΡ‚ синусного ΡƒΠ·Π»Π° (Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ с просяноС Π·Π΅Ρ€Π½ΠΎ)– распространяСтся элСктричСский Ρ‚ΠΎΠΊ. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ элСктрокардиографа. Он Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ элСктрокардиограмму (синусоиду) (Рисунок β„– 13 ).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° – это ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°, это союз ΡƒΠΌΠ° ΠΈ красоты.
ΠœΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ° – это ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ вычислСниям, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΡ‚Ρ€Π°Π³ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ, тригономСтрия ΠΏΠΎ красотС. ГармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ (Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°) – это ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ измСняСтся Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π±Π°Ρ€Π°Π±Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ½ΠΊΡƒ ΡΠ»ΡƒΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Ρ: Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ Π΄ΡƒΠ³Π΅, пСриодичСски. Π’ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ… Π΄Π°Π²ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎ сильнСС, Ρ‚ΠΎ слабСС. Π‘ΠΈΠ»Π° воздСйствия совсСм Π½Π΅Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ° ΠΈ колСбания происходят ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ быстро: сотни ΠΈ тысячи Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ сСкунду. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ пСриодичСскиС колСбания ΠΌΡ‹ воспринимаСм ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π²ΡƒΠΊ. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊ – Π΅Ρ‰Π΅ слоТнСС, Π° СстСствСнныС, ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π·Π²ΡƒΠΊΠΈ ΠΈ Π·Π²ΡƒΠΊΠΈ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… инструмСнтов ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· большого количСства Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊ. (Рисунок β„– 14 .)

КаТдая Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ° характСризуСтся трСмя ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ: Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ, частотой ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ. Частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠ² давлСния Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° происходит Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сСкунду. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ΅ частоты Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ "высокиС", "Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠ΅" Π·Π²ΡƒΠΊΠΈ. Π’Ρ‹ΡˆΠ΅ 10 ΠšΠ“Ρ† – писк, свист. МалСнькиС частоты Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ "Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅", "басовыС" Π·Π²ΡƒΠΊΠΈ, Ρ€ΠΎΠΊΠΎΡ‚. Амплитуда – это Ρ€Π°Π·ΠΌΠ°Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π§Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ°Ρ… большС, Ρ‚Π΅ΠΌ сильнСС воздСйствиС Π½Π° Π±Π°Ρ€Π°Π±Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ½ΠΊΡƒ, ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ Π³Ρ€ΠΎΠΌΡ‡Π΅ Π·Π²ΡƒΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠΈΠΌ (Рисунок β„– 15 ). Π€Π°Π·Π° – это смСщСниС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π€Π°Π·Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² градусах ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ„Π°Π·Ρ‹ смСщаСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ отсчСт Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Для задания Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΈ достаточно ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°Π·Ρƒ ΠΎΡ‚ –180 Π΄ΠΎ +180 градусов, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… значСниях ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ повторяСтся. Π”Π²Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сигнала с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈ частотой, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„Π°Π·Π°ΠΌΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ алгСбраичСски (Рисунок β„– 16 ).

Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. Как Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, смогли ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько страниц ΠΈΠ· Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹? Π£Π·Π½Π°Π² ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, стала Π»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ понятна Π΅Π΅ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сфСрах Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, понятСн Π»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π» ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° вспомнитС ΠΈ пСрСчислитС сфСры примСнСния Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ познакомились сСгодня ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°Π»ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅. Π― надСюсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· вас нашСл Π² сСгодняшнСм ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ для сСбя, интСрСсноС. Π‘Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, это Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ подскаТСт Π²Π°ΠΌ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ профСссии, Π½ΠΎ, ΠΊΠ΅ΠΌ Π±Ρ‹ Π²Ρ‹ Π½ΠΈ стали, ваша матСматичСская ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ профСссионалом своСго Π΄Π΅Π»Π° ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠΎΠΌ.

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ . ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с конспСктом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° (

Π•Ρ‰Π΅ Π² 1905 Π³. русскиС Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Уильяма ДТСймса β€œΠŸΡΠΈΡ…ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡβ€ Π΅Π³ΠΎ рассуТдСния ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, β€œΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π·ΡƒΠ±Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСдставляСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΡƒΡ€Π½ΠΎΠΉ способ учСния?”

β€œΠ—Π½Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ простого зубрСния, ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ бСсслСдно. Наоборот, умствСнный ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π», Π½Π°Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒΡŽ постСпСнно, дСнь Π·Π° Π΄Π½Π΅ΠΌ, Π² связи с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ контСкстами, связанный ассоциативно с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ внСшними событиями ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³ΡˆΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ систСму, вступаСт Π² Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ связь с ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами нашСго ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚Π°, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ возобновляСтся Π² памяти массою Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ остаСтся Π½Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ приобрСтСниСм”.

Π‘ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 100 Π»Π΅Ρ‚, Π° слова эти ΠΏΠΎΡ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π»ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Π΅Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’ этом ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΡˆΡŒΡΡ, занимаясь со школьниками. ΠœΠ°ΡΡΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»Ρ‹ Π² знаниях Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ: ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ курс ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² дидактичСском ΠΈ психологичСском ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… – Π½Π΅ систСма, Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ устройство, ΠΏΠΎΠΎΡ‰Ρ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒ ΠΈ нисколько Π½Π΅ Π·Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎ памяти Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π—Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ курс ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ – Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Π»Π°Π΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² состоянии Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ любоС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π² любоС врСмя. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‡ΡŒ этого, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ систСматичСски ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ всСгда Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° сильной загруТСнности Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅.

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ запоминания Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» – это ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ сигналы.

ВригономСтрия – ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² школьной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π² курсС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ 8, 9 классов ΠΈ Π² курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ 9 класса, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π² 10 классС.

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ большой объСм ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ приходится Π½Π° долю 10 класса. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этого ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ (ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚). ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅1.ppt

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ понятия Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ:

  • опрСдСлСния синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса ΡƒΠ³Π»Π°;
  • Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²;
  • ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  • значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ числового ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°;
  • ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;
  • Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;
  • возрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;
  • Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния;
  • значСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ;
  • Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;
  • Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… нСравСнств;
  • основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Рассмотрим ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих понятий Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

1) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса.

ПослС ввСдСния понятия тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° (ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚), Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса (радиус окруТности ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ оси ΠžΡ…), ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, учащиСся ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ опрСдСлСния для синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ опрСдСлСния ΠΈΠ· курса Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, рассматривая ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 1.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° называСтся абсцисса Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Бинусом ΡƒΠ³Π»Π° называСтся ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

2) Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

ПослС ввСдСния Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° (1 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ – это Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ соотвСтствуСт Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, равная Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ радиуса окруТности), учащиСся Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° – это числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π½Π° окруТности, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ». .

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° 12 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… частСй Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ окруТности. Зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… .

А Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ:

3) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ соотвСтствиС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ?

ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° соотвСтствуСт СдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° окруТности, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС – функция.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

На тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ – мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ - .

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ понятия Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ тангСнсов ΠΈ котангСнсов Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

1) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси ΠžΡƒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ тангСнсы для любого числового Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

2) Аналогично ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ линию котангСнсов. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ=1, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° . Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, значСния котангСнса ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° прямой, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси ΠžΡ….

На тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

для тангСнса -

для котангСнса -

4) ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°:

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса, косинуса, тангСнса, котангСнса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌ. ЗначСния синуса ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ оси ΠžΡƒ, косинуса ΠΏΠΎ оси ΠžΡ…, Π° значСния тангСнса ΠΈ котангСнса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ осям, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ осям ΠžΡƒ ΠΈ ΠžΡ… соотвСтствСнно.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния синуса ΠΈ косинуса располоТСны Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… осях ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния тангСнса ΠΈ котангСнса -

5) ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

На тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния синуса, косинуса ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, Π° тангСнса ΠΈ котангСнса – Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

6)Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎ свойство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, сравнивая значСния ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, косинус – чСтная функция, всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅.

7) ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

По тригономСтричСскому ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция синус возрастаСт ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚

Аналогично рассуТдая, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса.

8) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния.

Π—Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅. ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² сравнСнии Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°Ρ… Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

Алгоритм примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привСдСния:

1) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» функция сохраняСтся, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» - Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, получаСтся кофункция (

9) ЗначСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния , ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ - Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния - , ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ - . Аналогично ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для косинуса ΠΈ котангСнса.

Алгоритм нахоТдСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

1) Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ оси значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;

2) Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ области Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НапримСр:

10) РСшСниС ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° , Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности, ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ запишСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Для уравнСния , Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности, абсциссы ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ запишСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Аналогично для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° ЗначСния ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° линиях тангСнсов ΠΈ котангСнсов ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.

ВсС понятия ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ сами ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΈΠΌ руководством учитСля с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. Π’ дальнСйшСм этот β€œΠΊΡ€ΡƒΠ³β€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ для Π½ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ сигналом ΠΈΠ»ΠΈ внСшним Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для воспроизвСдСния Π² памяти понятий ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ способствуСт:

  • Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Ρƒ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΡΡ‚ΠΈΠ»ΡŒ общСния, ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ сотрудничСства;
  • Ρ†Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€Ρ‹ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° становятся личностно Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°;
  • Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» опираСтся Π½Π° Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ дСйствия, ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, ощущСния учащСгося;
  • ΡƒΡ€ΠΎΠΊ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΈ способы получСния ΠΈ усвоСния Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ элСмСнты Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎ- ΠΈ самообучСния; само- ΠΈ взаимоконтроля;
  • ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто быстроС Ρ€Π΅Π°Π³ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ (совмСстноС обсуТдСниС, ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ‹-подсказки, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ).

Бинус, косинус, тангСнс - ΠΏΡ€ΠΈ произнСсСнии этих слов Π² присутствии ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ интСрСс ΠΊ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€Ρƒ. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° кроСтся Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основы Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² школС ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Ρ‹Π²Π΅ ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ учащиСся Π½Π΅ видят смысла Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ.

Π’ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ данная ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ блиТайшСм рассмотрСнии оказываСтся вСсьма интСрСсной, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ - тригономСтрия Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² астрономии, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях.

Ознакомимся с основными понятиями ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ этот Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» матСматичСской Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

НСизвСстно, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ чСловСчСство Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ с нуля. Однако Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ зафиксировано, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ тысячСлСтии Π΄ΠΎ нашСй эры СгиптянС Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с Π°Π·Π°ΠΌΠΈ этой Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ: Π°Ρ€Ρ…Π΅ΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ папирус с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ извСстным сторонам.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½Ρ‹Ρ… успСхов достигли ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅Π³ΠΎ Π’Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½Π°. На протяТСнии Π²Π΅ΠΊΠΎΠ² занимаясь астрономиСй, ΠΎΠ½ΠΈ освоили ряд Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ, Π²Π²Π΅Π»ΠΈ особыС способы измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ, кстати, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ сСгодня: градусы, ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ ΠΈ сСкунды Π±Ρ‹Π»ΠΈ заимствованы СвропСйской Π½Π°ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π² Π³Ρ€Π΅ΠΊΠΎ-римской ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ вавилонян.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ знамСнитая Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, относящаяся ΠΊ основам Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π±Ρ‹Π»Π° извСстна вавилонянам ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ тысячи Π»Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄.

НазваниС

Дословно Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «тригономСтрия» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ пСрСвСсти ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β». ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ изучСния Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π½Π° протяТСнии ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΠΎΠ² Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ - взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π΅Π³ΠΎ сторон (сСгодня с этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° начинаСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ с нуля). Π’ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΈ ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° практичСски ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° (ΠΈΠ»ΠΈ расстояниС Π΄ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°) Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ посрСдством расчётов.

НапримСр, Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС Π΄ΠΎ космичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², Π° Π²ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ эти расстояния Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ Π΄ΠΎ наступлСния нашСй эры. Π’Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π»Π° тригономСтрия ΠΈ Π² Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ: обладая Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ знаниями, ΠΊΠ°ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ всСгда ΠΌΠΎΠ³ ΡΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½ΠΎΡ‡ΡŒΡŽ ΠΏΠΎ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π°ΠΌ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ курс.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия

Для освоСния Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ с нуля трСбуСтся ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько основных Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ².

Бинус Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° - это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅. Π£Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ - это сторона, лСТащая Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² рассматриваСмого Π½Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» составляСт 30 градусов, синус этого ΡƒΠ³Π»Π° всСгда, ΠΏΡ€ΠΈ любом Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β½. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° - это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅.

ВангСнс - это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ (Π»ΠΈΠ±ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу). ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ - это Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, дСлСнная Π½Π° тангСнс.

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΠΎΠ΅ число Пи (3,14…), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности с радиусом Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ ошибки

Π›ΡŽΠ΄ΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ с нуля, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ ряд ошибок - Π² основном ΠΏΠΎ Π½Π΅Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ использованиС синусов ΠΈ косинусов Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅. БлучаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ учащийся Β«Π½Π° Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚Π΅Β» ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ сторону Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ вычислСний.

Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ значСния синуса ΠΈ косинуса для Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°: Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус 30 градусов числСнно Ρ€Π°Π²Π΅Π½ косинусу 60, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. ΠŸΡ€ΠΈ подстановкС Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа всС дальнСйшиС расчёты окаТутся Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π’-Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΡ…, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π°, Π½Π΅ стоит ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π±Ρ‹ Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ значСния, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичной. Часто ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ стрСмятся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ «красивоС» число ΠΈ сразу ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…, хотя Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½ΠΎ дСйствиС этот ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

Этимология слова «синус»

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ слова «синус» поистинС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ этого слова с Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«Π²ΠΏΠ°Π΄ΠΈΠ½Π°Β». Всё ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ слова Π·Π°Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠ»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ языка Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

Названия Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΈ ΠΈΠ· Индии, Π³Π΄Π΅ понятиС синуса ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ словом Β«Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠ²Π°Β» Π½Π° санскритС - Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ вмСстС с Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ окруТности, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ½ опирался, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ» Π½Π° Π»ΡƒΠΊ. Π’ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π° расцвСта арабской Ρ†ΠΈΠ²ΠΈΠ»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ индийскиС достиТСния Π² области Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ заимствованы, ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π» Π² арабский язык Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ транскрипции. Π‘Π»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этом языкС ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅Π΅ слово, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²ΠΏΠ°Π΄ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΈ Ссли Π°Ρ€Π°Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ заимствованным словом, Ρ‚ΠΎ Π΅Π²Ρ€ΠΎΠΏΠ΅ΠΉΡ†Ρ‹, пСрСводящиС Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ, ΠΏΠΎ ошибкС Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π»ΠΈ арабскоС слово, Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ синуса Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π΅. Им ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠΎ сСй дСнь.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ занСсСны числовыС значСния для синусов, косинусов ΠΈ тангСнсов всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². НиТС прСдставим Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² 0, 30, 45, 60 ΠΈ 90 градусов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для Β«Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β», Π±Π»Π°Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… довольно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ.

Если ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° Β«Π²Ρ‹Π»Π΅Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΈΠ· Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹Β», Π΅ΡΡ‚ΡŒ способ вывСсти Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

ГСомСтричСскоС прСдставлСниС

НачСртим ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ оси абсцисс ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Ось абсцисс располагаСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ось ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ - Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«XΒ» ΠΈ Β«YΒ» соотвСтствСнно. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π΅ΠΉ ΠΈ осью X получился Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ». НаконСц, ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ прямая пСрСсСкаСт ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, опустим пСрпСндикуляр Π½Π° ось X. Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° числСнному Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса нашСго ΡƒΠ³Π»Π°.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ вСсьма Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»Π΅Π½, Ссли Π²Ρ‹ Π·Π°Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π° экзамСнС, ΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Β½ ΠΈ 1,73/2 (синус ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30 градусов) Π²Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Одними ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… спСциалистов, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π±Ρ‹Π»ΠΈ моряки, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€Π° Π² ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΡ€Π΅, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Π½Π΅Π±Π° Π½Π°Π΄ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ. БСгодня ΠΊΠ°ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»Π΅ΠΉ (самолётов ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² транспорта) Π½Π΅ ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π·Π²Ρ‘Π·Π΄Π°ΠΌ, Π·Π°Ρ‚ΠΎ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ GPS-Π½Π°Π²ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ, которая Π±Π΅Π· использования Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π°.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ вас ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ расчёты с использованиСм синусов ΠΈ косинусов: Π±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ силы Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, расчёты ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, колСбания, распространСниС Π²ΠΎΠ»Π½, ΠΏΡ€Π΅Π»ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ свСта - Π±Π΅Π· Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… просто Π½Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈΡΡŒ.

Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Π° профСссия, которая нСмыслима Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ - это гСодСзист. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ ΠΈ Π½ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΈΡ€ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТный ΠΏΡ€ΠΈΠ±ΠΎΡ€ - Ρ‚Π°Ρ…ΠΈΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, эти люди ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ Π² высотС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° Π·Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΉ повСрхности.

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

ВригономСтрия ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ сторонами Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, хотя ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ с этого ΠΎΠ½Π° Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π»Π° своё сущСствованиС. Π’ΠΎ всСх областях, Π³Π΄Π΅ присутствуСт Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ‚. Π΄.) Π²Ρ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ навСрняка Π²Π°ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎ - это синусоида.

Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставляСт собой Ρ€Π°Π·Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡƒΡŽ вдоль оси Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ внСшнС ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ Π½Π° Π²ΠΎΠ»Π½Ρƒ. Если Π²Ρ‹ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ с осциллографом Π½Π° занятиях ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ. Как ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ эквалайзСр, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±ΠΎΡ€, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ сСрдСчныС Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² своСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅.

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Π΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°ΡΡΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ учащихся срСднСй ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ слоТной ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡƒΠΊΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ знакомятся лишь со скучной ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся нСпрактичности - ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ стСпСни ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с синусами ΠΈ тангСнсами трСбуСтся практичСски Π² любой сфСрС Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ касаСтся слоТности… ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅: Ссли люди пользовались этими знаниями большС Π΄Π²ΡƒΡ… тысяч Π»Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° взрослый Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π» мСньшС Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Π΅ΠΌ сСгодняшний ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΈΠΊ, Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π½Π° Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π²Π°ΠΌ? НСсколько часов Π²Π΄ΡƒΠΌΡ‡ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… занятий с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ - ΠΈ Π²Ρ‹ достигнСтС своСй Ρ†Π΅Π»ΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ² Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ курс, Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ для Β«Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β».

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ слСдуйтС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ совСтам:

  1. НС ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ сразу ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ схСму Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°.
  2. НС ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ сразу вСсь ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄ малСнькими шагами.
  3. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ всС справСдливыС алгСбраичСскиС прСобразования (вынСсСниС Π·Π° скобку, сокращСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅).
  4. Π’Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всё Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ часто примСняСтся ΠΊΠ°ΠΊ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, поэтому ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π’Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ смогли ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… направлСниях. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° опрСдСлСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ имССтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнса:

ОсновноС тригономСтричСскоС тоТдСство:

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ слСдствия ΠΈΠ· основного тригономСтричСского тоТдСства:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. Бинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

ВангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния. Бинус суммы:

Бинус разности:

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ суммы:

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ разности:

ВангСнс суммы:

ВангСнс разности:

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ суммы:

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ разности:

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования суммы Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° синусов:

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синусов:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° косинусов:

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ косинусов:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° тангСнсов:

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тангСнсов:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° котангСнсов:

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ котангСнсов:

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния Π² сумму. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синусов:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΈ косинуса:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинусов:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинус Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. Аналогично Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнс ΠΈ котангСнс ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ кофункциями. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

  • Если Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ привСдСния ΡƒΠ³ΠΎΠ» вычитаСтся (прибавляСтся) ΠΈΠ· 90 градусов ΠΈΠ»ΠΈ 270 градусов, Ρ‚ΠΎ приводимая функция мСняСтся Π½Π° ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ;
  • Если ΠΆΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ привСдСния ΡƒΠ³ΠΎΠ» вычитаСтся (прибавляСтся) ΠΈΠ· 180 градусов ΠΈΠ»ΠΈ 360 градусов, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сохраняСтся;
  • ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ставится Ρ‚ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ приводимая (Ρ‚.Π΅. исходная) функция Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, Ссли ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ (прибавляСмый) ΡƒΠ³ΠΎΠ» острым.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹:

По тригономСтричСской окруТности Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ВригономСтричСскиС уравнСния

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ тригономСтричСского уравнСния Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ свСсти ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Π½ΠΈΠΆΠ΅. Для этого:

  • МоТно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ сразу вСсь ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ малСнькими шагами.
  • НуТно Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ возмоТности ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ алгСбраичСских ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², Ρ‚.Π΅. Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, вынСсти Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π·Π° скобку ΠΈΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ скобки, ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сокращСнного умноТСния , привСсти Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
  • ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ . ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ нолю, достаточно Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ любой ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ нолю, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ сущСствовали .
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ послС ввСдСния Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ.
  • ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ уравнСния часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.
  • Раскрывая ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния с тригономСтричСскими функциями Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ всС тонкости Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями.
  • ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎ ΠžΠ”Π— (Π² тригономСтричСских уравнСниях ограничСния Π½Π° ΠžΠ”Π— Π² основном сводятся ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ноль нСльзя, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ограничСниях, особСнно ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… стСпСнях ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ корнями Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния синуса ΠΈ косинуса ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π΄ΠΎ плюс Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, Ссли Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Если Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ всС Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Ссли ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ…ΡƒΠΆΠ΅, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ поступайтС ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π½Π°Ρ‚ΠΊΠ½Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ…ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Для синуса сущСствуСт Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

Для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ запись ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°. Для косинуса:

Для тангСнса:

Для котангСнса:

РСшСниС тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… частных случаях:

  • Π’Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ . На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ это Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ всСго ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 200 ΡˆΡ‚ΡƒΠΊ, Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ мСньшС. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ дСсятка стандартных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ уровня слоТности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚Π΅ ΠΈ Π±Π΅Π· Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π¦Π’. ПослС этого Π’Π°ΠΌ останСтся ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Π΄ самыми слоТными Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ.
  • ΠŸΠΎΡΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ этапа Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ тСстирования ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π Π’ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ Π½Π° Π¦Π’, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ умСния быстро ΠΈ качСствСнно Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΈ знания Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ врСмя, Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ силы, Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Π»Π°Π½ΠΊ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Π² Π½ΠΈ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π½ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„Π°ΠΌΠΈΠ»ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π Π’ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ ΡΡ‚ΠΈΠ»ΡŽ постановки вопросов Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π° Π¦Π’ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡƒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ.
  • УспСшноС, ΡΡ‚Π°Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ отвСтствСнноС Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π’Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π¦Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‹ способны.

    Нашли ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ?

    Если Π’Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Π’Π°ΠΌ каТСтся, нашли ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅, поТалуйста, ΠΎ Π½Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρƒ. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± ошибкС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ сСти (). Π’ письмС ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ (Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°), Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΈΠ»ΠΈ тСста, Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ мСсто Π² тСкстС (страницу) Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎ Π’Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ мнСнию Π΅ΡΡ‚ΡŒ ошибка. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ошибка. Π’Π°ΡˆΠ΅ письмо Π½Π΅ останСтся Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, ошибка Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ исправлСна, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π’Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΡŠΡΡΠ½ΡΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Π½Π΅ ошибка.

    На этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΡ… ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π² этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅, Π° Π³Π΄Π΅ просто Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ (Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΎΠΉ). Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ - это Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ. Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π°: Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° вСлосипСдС, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ это Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ½Ρ‰ΠΈΠΊΠΎΠΌ. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ, ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    БущСствуСт Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈΡ… всС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ тоТдСства (равСнства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡ… ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚).

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ опрСдСлСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… (Рис. 1).

    Бинусом острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅.

    ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅.

    ВангСнсом острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ.

    ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ.

    Рис. 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ острого ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

    Π­Ρ‚ΠΈ опрСдСлСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π΅Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° функция, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, синус. Если Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ (Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ часто использовались) Π² Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅, Π½Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    НапримСр, косинус ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ синусу этого ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° с Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (). ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, косинус ΡƒΠ³Π»Π° всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· синус этого ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ основноС тригономСтричСскоС тоТдСство (). ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° - это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ котангСнс (Рис. 2). НСкоторыС Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ котангСнс Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅, замСняя Π΅Π³ΠΎ Π½Π° . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

    Рис. 2. Бвязь Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    Но Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ понадобились Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΡ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚? Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

    Π”Π²Π° Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° (А ΠΈ Π’ ) Π²Ρ‹Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΠ· Π»ΡƒΠΆΠΈ (Рис. 3). Π§Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π’ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π²Π±ΠΎΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ½ вряд Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ А . Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ усилий ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ постСпСнно ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ (Рис. 4).

    Рис. 3. Π’ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π²Π±ΠΎΠΊ

    Рис. 4. Π’ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ своих усилий

    Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ эффСктивно ΠΈΡ… усилия слоТатся Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону (Рис. 5).

    Рис. 5. НаиболСС эффСктивноС совмСстноС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ усилий

    Π’ΠΎ, насколько Π’ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, насколько Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ силы Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ силы, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ дСйствуСт А , являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ косинус (Рис. 6).

    Рис. 6. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ, ΠΊΠ°ΠΊ характСристика эффСктивности усилий Π’

    Если ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ силы, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ дСйствуСт Π’ , Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ силы Π½Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ силы, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ дСйствуСт А . Π§Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ направлСниями сил ΠΊ , Ρ‚Π΅ΠΌ эффСктивнСС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ совмСстных дСйствий А ΠΈ Π’ (Рис. 7). Если ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ силой Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… направлСниях, Ρ‚ΠΎ машина останСтся Π½Π° мСстС (Рис. 8).

    Рис. 7. Π­Ρ„Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ совмСстных усилий А ΠΈ Π’

    Рис. 8. ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСйствия сил А ΠΈ Π’

    Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» (Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚) Π½Π° косинус (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΡƒΠ³Π»Π°). На самом Π΄Π΅Π»Π΅ это слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ свойства ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ фактичСски ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅: ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл (ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚-Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚-ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚). Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ссли Π±Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ (Рис. 9).

    Рис. 9. Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сторон Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…

    НапримСр, Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±Ρ‹ Π½Π΅ смогли ввСсти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ тангСнса, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… тангСнс оказался Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ. Но благодаря Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ значСния Π΅Π³ΠΎ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹.

    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ высоту Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π° (Рис. 10). Как ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ высоту здания, располоТСнного рядом?

    Рис. 10. Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ условия ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 2

    Находим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ , Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линия, провСдённая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΠΎΠΌΠ°, ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π° (Рис. 11).

    Рис. 11. Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 2

    ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π°, расстояниС ΠΎΡ‚ Π½Π΅Ρ‘ Π΄ΠΎ Π΄ΠΎΠΌΠ° ΠΈ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ высоту Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π°. Из ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ высоту Π΄ΠΎΠΌΠ°: .

    ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΡ - это равСнство ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС равСнство ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΡƒΠ³Π»Π°, которая выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, это тангСнс). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ острого ΡƒΠ³Π»Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ синус, косинус, тангСнс, котангСнс - это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ острому ΡƒΠ³Π»Ρƒ соотвСтствуСт Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ дальшС ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡ… свойствами. ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для всСх ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΡƒΠΆΠ΅ вычислСны, ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ (ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Брадиса ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ любого ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°). А Π²ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса Π²ΠΎΡΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ соотвСтствуСт) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ всСгда.

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ синус Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (Рис. 12). Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Брадиса ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ СдинствСнным (Рис. 13).

    Рис. 12. НахоТдСниС ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ синуса

    Рис. 13. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ восстановлСнии ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ слоТным, Π½ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ сталкиваСмся с ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ ситуациями ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь.

    Если Π·Π°ΡˆΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠ½Π° ΠΈ Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, свСтло ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΠ½ΠΎ Π½Π° ΡƒΠ»ΠΈΡ†Π΅, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΠ΅Ρ‰Π΅Ρ€Π΅, Ρ‚ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΡΠ½ΡƒΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ, Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, сСйчас час дня, Π½ΠΎΡ‡ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ дня (Рис. 14). На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ссли ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Β«ΠšΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ час?Β», ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ чСстно ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: «Час плюс ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° , Π³Π΄Π΅ Β»

    Рис. 14. Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ многозначности Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ с часами

    МоТно ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ - это ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ (ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ часы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ сСйчас). ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρƒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: синуса, косинуса ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

    Если Π±Ρ‹ Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ смСны дня ΠΈ Π½ΠΎΡ‡ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ смСны сСзонов, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ пСриодичСским Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ. Π’Π΅Π΄ΡŒ Ρƒ нас Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ нумСрация Π»Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Ρ‘Ρ‚ ΠΏΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Π° Π² сутках часа, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ сутки счёт начинаСтся Π·Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎ. Π‘ мСсяцами Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ ситуация: Ссли сСйчас ΡΠ½Π²Π°Ρ€ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· мСсяцСв ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ наступит ΡΠ½Π²Π°Ρ€ΡŒ ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ пСриодичСский счёт Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ( часа, мСсяцСв) Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ внСшниС ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€Ρ‹ - Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ своСй оси ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ полоТСния Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π° ΠΈ Π›ΡƒΠ½Ρ‹ Π½Π° Π½Π΅Π±Π΅. Если Π±Ρ‹ Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π΅ всСгда висСло Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ для подсчёта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π±Ρ‹ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ количСство сСкунд (ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚) с ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° возникновСния этого самого подсчёта. Π”Π°Ρ‚Π° ΠΈ врСмя ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π²ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Ρ€Π΄ сСкунд.

    Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… слоТностСй Π² ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ многозначности ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ синуса ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ значСния ΡƒΠ³Π»Π° (Рис. 15).

    Рис. 15. ВосстановлСниС ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ синуса

    ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΡ‹ всСгда Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π² стандартном Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ . Π’ этом Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ всСго Π΄Π²Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… значСния ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°.

    Рассмотрим Π΄Π²ΠΈΠΆΡƒΡ‰ΡƒΡŽΡΡ Π»Π΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈ маятник Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅Π΄Ρ€Π° с отвСрстиСм, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ высыпаСтся пСсок. ΠœΠ°ΡΡ‚Π½ΠΈΠΊ качаСтся, Π»Π΅Π½Ρ‚Π° двиТСтся (Рис. 16). Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ пСсок оставит слСд Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус (ΠΈΠ»ΠΈ косинус), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ синусоида.

    На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ отсчёта (Ссли Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Ρ‹Π» нарисован, Π½Π΅ получится). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинусоида Π½Π΅Ρ‚ смысла (Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ самого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°)?

    Рис. 16. Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ постановки Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 4

    По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π·Π°Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚.Π΅. провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси абсцисс, Ρ‚ΠΎ Π½Π° пСрСсСчСнии ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… синус ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. Как Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ с часами, Π³Π΄Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π° , Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ здСсь Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ (Рис. 17).

    Рис. 17. Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ многозначности для синуса

    Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с часами, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† часовой стрСлки) двигаСтся ΠΏΠΎ окруТности. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ радиусом окруТности ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси . ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ часовой стрСлкС со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус, Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² - со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ плюс), это ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ (Рис. 18).

    Рис. 18. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π½Π° окруТности

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, обратная функция ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅. Для этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ значСния, Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, добавляя ΠΈ вычитая ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Рассмотрим Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°. Машина двиТСтся ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Π΅. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ колСсо Π²ΡŠΠ΅Ρ…Π°Π»ΠΎ Π² краску ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π»ΡƒΠΆΡƒ. МоТно ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ пСриодичСскиС ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚ краски ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡƒΠΆΠΈ Π½Π° Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Π΅ (Рис. 19).

    Рис. 19. Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°

    ВригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² школьном курсС достаточно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΌΡƒ счёту достаточно ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ всСго ΠΎΠ΄Π½Ρƒ (Рис. 20).

    Рис. 20. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ вывСсти ΠΈΠ· синуса суммы, подставив (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ для косинуса). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния.

    На самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сами запомнятся. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ полСнится, Π½ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° эта Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈ сами Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚.

    А Ρ€Π°Π· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π΅ понадобятся, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡ… ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ. НуТно просто ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ идСю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ - это Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, мосты. Π‘Π΅Π· ΠΈΡ… использования ΠΈ расчёта Π½Π΅ обходится практичСски Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌ.

    1. Часто Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ вопрос, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π΅Ρ‚, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½Π° сила дСйствуСт Π²Π½ΠΈΠ·, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ - ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ уравновСсятся (Рис. 21).

    2. Π›Π΅Π±Π΅Π΄ΡŒ, Ρ€Π°ΠΊ ΠΈ Ρ‰ΡƒΠΊΠ° тянут Π²ΠΎΠ· Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π›Π΅Π±Π΅Π΄ΡŒ Π»Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону, Ρ€Π°ΠΊ тянСт Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ, Π° Ρ‰ΡƒΠΊΠ° - Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ (Рис. 22). Π˜Ρ… силы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. ΠŸΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    3. Π’Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ мост (Рис. 23). ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ количСство Π²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ натянуты.

    Рис. 23. Π’Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ мост

    Рис. 24. Β«Π‘Ρ‚Ρ€ΡƒΠ½Π½Ρ‹ΠΉ мост»

    Рис. 25. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ ΠžΠ±ΡƒΡ…ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ мост

    Бсыл-ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°-Ρ‚Π΅-Ρ€ΠΈ-Π°-Π»Ρ‹ сайта InternetUrok

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 6 класс:

    ГСомСтрия 8 класс: