Область сходимости Функциональным рядом называется ряд членами которого являются функции / определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда определены на интервале, а члены ряда определены на отрезке Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке Хо € Е, если сходится ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества D С Е и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D, Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Дапамбера, признака Коши. Пример 1. Найти область сходимости ряда М Так как числовой ряд сходится при р > 1 и расходится при р ^ 1, то, полагая р - Igx, получим данный ряд. который будет сходиться при Igx > Ц т.е. если х > 10, и расходиться при Igx ^ 1, т.е. при 0 < х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 ряд расходится, так как Л =. Расходимость ряда при х = 0 очевидна. Пример 3. Нейти область сходимости ряда Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве. Применяя признак Кош и, найдем для любого. Следовательно, ряд расходится при всех значениях х. Обозначим через Sn(x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна 5(ж), то ее можно представить в виде где есть сумма сходящегося на множестве D ряда который называется п-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений х € D имеет место соотношение и поэтому. т. е. остаток Rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при п оо, каково бы ни было х 6 D. Равномерная сходимость Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды. Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму Определение. Функциональный ряд ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов называется равномерно сходящимся на множестве ПС1), если для любого числа е > О найдется число ЛГ > О такое, что неравенство будет выполняться для всех номеров п > N и для всех х из множества fI. Замечание. Здесь число N является одним и тем же для всех х € Ю, т.е. не зависит от z, однако зависит от выбора числа е, так что пишут N = N(e). Равномерную сходимость функционального ряда £ /п(®) к функции 5(х) на множестве ft часто обозначают так: Определение равномерной сходимости ряда /п(ж) на множестве ft можно за- писать короче с помощью логических символов: Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда. Возьмем в качестве множества ft отрезок [а, 6] и построим графики функций. Неравенство |, выполняющееся для номеров п> N и для всех a; G [а, Ь], можно записать в следующем виде Полученные неравенства показывают, что графики всех функций у = 5„(ж) с номерами п > N будут целиком заключены внутри £-полосы, ограниченной кривыми у = S(x) - е и у = 5(ж) + е (рис. 1). Пример 1 равномерно сходится на отрезке Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком х € [-1,1] и, следовательно, сходится на отрезке (-1,1]. Пусть S(x) - его сумма, a Sn(x) - его п-я частичная сумма. Остаток ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена: а поскольку Возьмем любое е. Тогда неравенство | будет выполняться, если. Отсюда находим, что п > \. Если взять число (здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство | е будет выполняться для всех номеров п > N и для всех х € [-1,1). Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1). I. Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на Пример 2. Покажем, что ряд сходится на отрезке, но не равномерно. 4 Вычислим п-ю частичную сумму £„(*) ряда. Имеем Откуда Данный ряд сходится на отрезке и его сумма если Абсолютная величина разности S(x) - 5„(х) (остатка ряда) равна. Возьмем число е такое, что. Пусть Разрешим неравенство относительно п. Имеем, откуда (так как, и при делении на Inx знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при. Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство выполнялось для каждого) сразу для всех х из отрезка. , не существует. Если же заменить отрезок 0 меньшим отрезком, где, то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S0 равномерно. В самом деле, при, и поэтому при сразу для всех х §3. Признак Вейерштрасса Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса. Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Пусть для всех х из множества Q члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда П=1 с положительными членами, т. е. для всех х € Q. Тогда функциональный ряд (1) на множестве П сходится абсолютно и равномерно. А Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве Q, то по признаку сравнения ряд 2 \fn(x)\ сходится при любом х € И, и, следовательно, ряд (1) сходится на П абсолютно. Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть Обозначим через Sn(x) и an частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем Возьмем любое (сколь угодно малое) число е > 0. Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера N = N(e) такого, что следовательно, -е для всех номеров п > N(e) и для всех хбП, т.е. ряд (1) сходится равномерно на множестве П. Замечание. Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1). Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость ряд Неравенство выполняется для всех. и для всех. Числовой ряд сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси. Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2|. Так как на отрезке [-2,2) для любого натурального п, то Таким образом, неравенство выполняется для. Так как числовой ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке. Замечание. Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве Пив том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т. е. признак Вейерштрасса яапяется лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым. Пример. Как было показано выше (пример), ряд равномерно сходится на отрезке 1-1,1]. Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных п и для всех х € [-1,1) выполняется неравенство причем равенство достигается при. Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию но числовой ряд ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов расходится. Значит, будет расходиться и ряд £ оп. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств. Теорема 2. Если все члены ряда равномерно сходящегося на отрезке [а, Ь], умножить на одну и ту же функцию д(х), ограниченную на [а, 6], то полученный функциональный ряд будет равномерно сходиться на. Пусть на отрезке [а, Ь\ ряд £ fn(x) равномерно сходится к функции 5(ж), а функ- ция д(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что По определению равномерной сходимости ряда для любого числа е > 0 существует номер N такой, что для всех п > N и для всех х € [а, Ь] будет выполняться неравенство где 5n(ar) - частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь и для любого. ряд равномерно сходится на [а, Ь| к функции Теорема 3. Пусть все члены fn(x) функционального ряда непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ь\. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке. М Возьмем на отрезке [о, Ь] две произвольные точки гиг + Ах. Так как данный ряд сходится на отрезке [а, Ь] равномерно, то для любого числа е > О найдется номер N = N(e) такой, что для всех я > N будут выполняться неравенства где5„(ж) - частичные суммы ряда fn{x). Эти частичные суммы 5„(ж) непрерывны на отрезке [а, 6] как суммы конечного числа непрерывных на [а, 6) функций fn(x). Поэтому для фиксированного номера no > N(e) и взятого числа е найдется число 6 = 6(e) > 0 такое, что для приращения Ах, удовлетворяющего условию |, будет иметь место неравенство Приращение AS суммы S(x) можно представить в следующем виде: откуда. Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений Ах, удовлетворяющих условию |, получим Это означает, что сумма Six) непрерывна в точке х. Так как х является произвольной точкой отрезка [а, 6], то 5(ж) непрерывна на |а, 6|. Замечание. Функциональный ряд члены которого непрерывны на отрезке [а, 6), но который сходится на (а, 6] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию. Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд на отрезке |0,1). Вычислим его n-ю частичную сумму Поэтому Она разрывна на отрезке , хотя члены ряда непрерывны на нем. В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке . Пример 2. Рассмотрим ряд Как было показано выше, этот ряд сходится при, ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как 1 и числовой ряд сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна. Замечание. Функция называется функцией Рима на (эта функция играет большую роль в теории чисел). Теорема 4 (о почленном интегрировании функционального ряда). Пусть все члены fn(x) ряда непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции S(x). Тогда справедливо равенство В силу непрерывности функций f„(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, 6] его сумма 5(ж) непрерывна и, следовательно, интегрируема на . Рассмотрим разность Из равномерной сходимости ряда на [о, Ь] следует, что для любого е > 0 найдется число N(e) > 0 такое, что для всех номеров п > N(e) и для всех х € [а, 6] будет выполняться неравенство Если ряд fn(0 не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е. Теорема 5 (о почленном дифференцировании функционального ряда). Пусть все члены сходящегося ряда 00 имеют непрерывные производные и ряд составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, Ь]. Тогда в любой точке справедливо равенство т. е. данный ряд можно почленно дифференцировать. М Положим Возьмем две любые точки. Тогда в силу теоремы 4 будем иметь Функция o-(x) непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Поэтому, дифференцируя равенство получим Упражнения Найдите области сходимости данных функциональных рядов: Пользуясь признаком Вейерштрасса, докажите равномерную сходимость данных функциональных рядов на указанных интервалах:

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:

Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!

Итак, ориентиры расставлены, поехали:

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

При

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .

при – сходится.

! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.

Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :

Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем его на характер сходимости:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится условно .

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда:

Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9:

Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :


Раскрываем модуль:

и прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости

Определение 1 . Ряд, члены которого являются функциями одной или
нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом .

Рассмотрим функциональный ряд , члены которого являются функциями одной независимой переменной х . Сумма первых n членов ряда является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член есть функция от х , определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке . Если соответствующий числовой ряд сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда
(где − сумма числового ряда), то точка называется точкой сходимости функционального ряда . Если числовой ряд расходится, то точка называется точкой расходимости функционального ряда.

Определение 2 . Областью сходимости функционального ряда называется множество всех таких значений х , при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается . Отметим, что R.

Функциональный ряд сходится в области , если для любого он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией . Это так называемая предельная функция последовательности : .

Как находить область сходимости функционального ряда ? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда составляем и рассматриваем предел при фиксированном х :
. Тогда является решением неравенства и решением уравнения (берём только те решения уравнения, в
которых соответствующие числовые ряды сходятся).

Пример 1 . Найти область сходимости ряда .

Решение . Обозначим , . Составим и вычислим предел
, тогда область сходимости ряда определяется неравенством и уравнением . Исследуем дополнительно сходимость исходного ряда в точках, являющимися корнями уравнения:

а) если , , то получается расходящийся ряд ;

б) если , , то ряд сходится условно (по

признаку Лейбница, пример 1, лекция 3, разд. 3.1).

Таким образом, область сходимости ряда имеет вид: .

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля

Рассмотрим частный случай функционального ряда, так называемый степенной ряд , где
.

Определение 3 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где − постоянные числа, называемые коэффициентами ряда .

Степенной ряд есть «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням . Любой числовой ряд является
частным случаем степенного ряда при .

Рассмотрим частный случай степенного ряда при :
. Выясним, какой вид имеет
область сходимости данного ряда .

Теорема 1 (теорема Абеля) . 1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится при всяком х , для которого справедливо неравенство .

2) Если же степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком х , для которого .

Доказательство . 1) По условию степенной ряд сходится в точке ,

т. е. сходится числовой ряд

(1)

и по необходимому признаку сходимости его общий член стремится к 0, т.е. . Следовательно, существует такое число , что все члены ряда ограничены этим числом:
.

Рассмотрим теперь любое х , для которого , и составим ряд из абсолютных величин: .
Запишем этот ряд в другом виде: так как , то (2).

Из неравенства
получаем , т.е. ряд

состоит из членов, которые больше соответствующих членов ряда (2). Ряд представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем , причём , так как . Следовательно, ряд (2) сходится при . Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится.

2) Пусть ряд расходится при , иными словами,

расходится числовой ряд . Докажем, что для любого х () ряд расходится. Доказательство ведётся от противного. Пусть при некотором

фиксированном () ряд сходится, тогда он сходится при всех (см. первую часть данной теоремы), в частности, при , что противоречит условию 2) теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие . Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка является точкой сходимости степенного ряда, то интервал заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка , то
бесконечные интервалы заполнены точками расходимости (рис. 1).

Рис. 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда

Можно показать, что существует такое число , что при всех
степенной ряд абсолютно сходится, а при − расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то , а если ряд сходится при всех , то .

Определение 4 . Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что при всех этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х , лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание . На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.

Покажем один из способов определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд и обозначим .

Составим ряд из абсолютных величин его членов:

и применим к нему признак Даламбера.

Пусть существует

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , и расходится, если . Отсюда ряд сходится при , тогда интервал сходимости: . При ряд расходится, так как .
Используя обозначение , получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда:

,

где − коэффициенты степенного ряда.

Если окажется, что предел , то полагаем .

Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения .

Определение 5 . Обобщенным степенным рядом называется ряд вида

. Его также называют рядом по степеням .
Для такого ряда интервал сходимости имеет вид: , где − радиус сходимости.

Покажем, как находится радиус сходимости для обобщенного степенного ряда.

т.е. , где .

Если , то , и область сходимости R; если , то и область сходимости .

Пример 2 . Найти область сходимости ряда .

Решение . Обозначим . Составим предел

Решаем неравенство: , , следовательно, интервал

сходимости имеет вид: , причём R = 5. Дополнительно исследуем концы интервала сходимости:
а) , , получаем ряд , который расходится;
б) , , получаем ряд , который сходится
условно. Таким образом, область сходимости: , .

Ответ: область сходимости .

Пример 3. Ряд расходится для всех , так как при , радиус сходимости .

Пример 4. Ряд сходится при всех R, радиус сходимости .

Пусть функция определена в области

Определение. Выражение

Называется функциональным рядом.

Пример.

При одних значениях ряд может сходиться, для других значений – расходиться.

Пример.

Найдите область сходимости ряда . Данный ряд определен для значений

Если то , ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда; если ряд расходится; если - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Сравнение данного ряда со сходящимся рядом при дает область сходимости исследуемого ряда .

При значениях из функционального ряда получается числовой ряд

Если для числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда.

Совокупность всех точек сходимости ряда образует область его сходимости. Областью сходимости обычно бывает какой-нибудь интервал оси .

Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области .

Сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной , определенной в области сходимости ряда

Какими свойствами обладают функции , если известны свойства членом ряда, то есть .

Непрерывность функций не достаточна для того, чтобы сделать заключение о непрерывности .

Сходимость ряда непрерывных функций к непрерывной же функции обеспечивается дополнительным условием, выражающим одну важную особенность сходимости функционального ряда.

Определение . Функциональный ряд называется сходящимся в области , если существует предел частичных сумм этого ряда, то есть .

Определение . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области , если для любого положительного , найдется такое число , что для всех выполняется неравенство .

Геометрический смысл равномерной сходимости

Если окружить график функции - полоской”, определяемой соотношением то графики всех функций , начиная с достаточно большого значения , целиком лежат в этой « - полоске», окружающей график предельной функции .

Свойства равномерно сходящегося ряда .

1. Сумма равномерно сходящегося ряда в некоторой области , составленного из непрерывных функций, является функцией непрерывной в этой области.

2. Такой ряд можно почленно дифференцировать

3. Ряд можно почленно интегрировать

Для того чтобы определить является ли функциональный ряд равномерно сходящимся, надо воспользоваться достаточным признаком сходимости Вейерштрасса.

Определение . Функциональный ряд называется мажорируемым в некоторой области изменения , если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами, что для всех из этой области выполняются неравенства .

Признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда).

Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Другими словами, если функции в некоторой области не превосходят по абсолютной величине соответствующих положительных чисел и если числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Пример . Доказать равномерную сходимость функционального ряда .

Решение . . Заменим общий член этого ряда общим членом числового ряда, но превосходящего каждый член ряда по абсолютной величине. Для этого надо определить , при котором общий член ряда будет максимальным.

Полученный числовой ряд сходится, значит, функциональный ряд сходится равномерно согласно признаку Вейерштрасса.

Пример . Найдите сумму ряда .

Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии

Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно

Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной:

Вычислим производные:

Степенные ряды.

Среди функциональных рядов есть класс степенных и тригонометрических рядов.

Определение . Функциональный ряд вида

называется степенным по степеням . Выражения - постоянные числа.

Если ряд является степенным по степеням .

Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Теорема . Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале .

Доказательство.

Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство ., что для всех с центром в точке

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 42 5

Лекция 42

ТЕМА: Функциональные ряды

План.

1. Функциональные ряды. Область сходимости.
2. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
3. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.
4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
5. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Функциональные ряды. Область сходимости

Определение 40.1 . Бесконечная сумма функций

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

где u n (x ) = f (x , n ), называется функциональным рядом .

Если задать конкретное числовое значение х , ряд (40.1) превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х , при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом.

Определение 40.2 . Множество значений х , при подстановке которых в функциональный ряд (40.1) получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение 40.3. Функция s (x ), определенная в области сходимости ряда, которая для каждого значения х из области сходимости равна сумме соответствующего числового ряда, полученного из (40.1) при данном значении х , называется суммой функционального ряда .

Пример. Найдем область сходимости и сумму функционального ряда

1 + х + х ² +…+ x n +…

При | x | ≥ 1 поэтому соответствующие числовые ряды расходятся. Если же

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-1, 1), а его сумма имеет указанный вид.

Замечание . Так же, как для числовых рядов, можно ввести понятия частичной суммы функционального ряда:

s n = 1 + х + х ² +…+ x n

и остатка ряда: r n = s – s n .

Равномерная сходимость функционального ряда

Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.

Определение 40.4. Функциональная последовательность f n (x ) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х , если и

Замечание 1. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последователь-ности а равномерную сходимость - .

Замечание 2 . Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении ε для каждого существует свой номер N , для которого при n > N выполняется неравенство:

При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номер N , обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х , невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N , общий для всех х , существует.

Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Поскольку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательности:

Определение 40.5. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х , если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Признак Вейерштрасса

Теорема 40.1. Если числовой ряд сходится и для всех и для всех п = 1, 2,… выполняется неравенство то ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве Х.

Доказательство.

Для любого ε > 0 c уществует такой номер N , что поэтому и

Для остатков r n ряда справедлива оценка

Следовательно, поэтому ряд равномерно сходится.

Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы 40.1, обычно называется мажорированием , а сам этот ряд – мажорантой для данного функционального ряда.

Пример. Для функционального ряда мажорантой при любом значении х является сходящийся знакоположительный ряд. Поэтому исходный ряд равно-мерно сходится на (-∞, +∞).

Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 40.2. Если функции u n (x ) непрерывны при и ряд равномерно сходится на Х , то его сумма s (x ) тоже непрерывна в точке х 0 .

Доказательство.

Выберем ε > 0. Тогда, поэтому существует такой номер п 0 , что

- сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точке х 0 . Поэтому существует такое δ > 0, что Тогда получаем:

То есть функция s (x ) непрерывна при х = х 0 .

Теорема 40.3. Пусть функции u n (x ) непрерывны на отрезке [ a , b ] и ряд равно-мерно сходится на этом отрезке. Тогда ряд тоже равномерно сходится на [ a , b ] и (40.2)

(то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать).

Доказательство.

По теореме 40.2 функция s (x ) = непрерывна на [ a , b ] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (40.2), существует. Покажем, что ряд равномерно сходится к функции

Обозначим

Тогда для любого ε найдется такой номер N , что при n > N

Значит, ряд равномерно сходится, и его сумма равна σ (х ) = .

Теорема доказана.

Теорема 40.4. Пусть функции u n (x ) непрерывно дифференцируемы на отрезке [ a , b ] и ряд, составленный из их производных:

(40.3)

равномерно сходится на [ a , b ]. Тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке, то он сходится равномерно на всем [ a , b ], его сумма s (x )= является непрерывно дифференцируемой функцией и

(ряд можно почленно дифференцировать).

Доказательство.

Определим функцию σ(х ) как. По теореме 40.3 ряд (40.3) можно почленно интегрировать:

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [ a , b ] по теореме 40.3. Но числовой ряд по условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд. Тогда Функция σ(t ) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [ a , b ] и поэтому сама непрерывна. Тогда функция непрерывно дифференцируема на [ a , b ], и, что и требовалось доказать.

Определение 41.1 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(41.1)

Замечание. С помощью замены х – х 0 = t ряд (41.1) можно привести к виду, поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида

(41.2)

Теорема 41.1 (1-я теорема Абеля). Если степенной ряд (41.2) сходится при х = х 0 , то при любом x : | x | < | x 0 | ряд (41.2) сходится абсолютно. Если же ряд (41.2) расходится при х = х 0 , то он расходится при любом x : | x | > | x 0 |.

Доказательство.

Если ряд сходится, то поэтому существует константа с > 0:

Следовательно, а ряд при | x |<| x 0 | сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд при | x |<| x 0 | абсолютно сходится.

Если известно, что ряд (41.2) расходится при х = х 0 , то он не может сходиться при | x | > | x 0 | , так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точке х 0 .

Таким образом, если найти наибольшее из чисел х 0 > 0 таких, что (41.2) сходится при х = х 0 , то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х 0 , х 0 ), возможно, включающий одну или обе границы.

Определение 41.2. Число R ≥ 0 называется радиусом сходимости степенного ряда (41.2), если этот ряд сходится, а расходится. Интервал (- R , R ) называется интервалом сходимости ряда (41.2).

Примеры.

1. Для исследования абсолютной сходимости ряда применим признак Даламбера: . Следовательно, ряд сходится только при х = 0, и радиус его сходимости равен 0: R = 0.
2. Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд сходится при любом х , то есть
3. Для ряда по признаку Даламбера получим:

Следовательно, при –1 < x < 1 ряд сходится, при

x < -1 и x > 1 расходится. При х = 1 получаем гармонический ряд, который, как извест-но, расходится, а при х = -1 ряд сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого ряда R = 1, а интервал сходи-мости – [-1, 1).

Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда.

1. Формула Даламбера.

Рассмотрим степенной ряд и применим к нему признак Даламбера: для сходимости ряда необходимо, чтобы.Если существует, то область сходимости определяется неравенством, то есть

- (41.3)

• формула Даламбера для вычисления радиуса сходимости.

1. Формула Коши-Адамара.

Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответствен-но, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(41.4)

• формула Коши-Адамара .

Свойства степенных рядов.

Теорема 41.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (41.2) и этот ряд сходится при x = R , то он равномерно сходится на интервале (- R , R ).

Доказательство.

Знакоположительный ряд сходится по теореме 41.1. Следовательно, ряд (41.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 40.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R , R ), что и требовалось доказать.

Следствие 1 . На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (41.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (41.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 40.2.

Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(41.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 40.3.

Теорема 41.3. Если ряд (41.2) имеет интервал сходимости (- R , R ), то ряд

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (41.2), имеет тот же интервал сходимости (- R , R ). При этом

φ΄(х) = s΄ (x ) при | x | < R , (41.7)

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем ρ: 0 < ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если | x | ≤ ρ, то

Где Таким образом, члены ряда (41.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда, который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (41.6) при Поэтому ряд (41.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 40.4 верно равенство (41.7). Из выбора ρ следует, что ряд (41.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R , R ).

Докажем, что вне этого интервала ряд (41.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x 1 > R , то, интегрируя его почленно на интервале (0, x 2 ), R < x 2 < x 1 , мы получили бы, что ряд (41.2) сходится в точке х 2 , что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

Замечание . Ряд (41.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз.

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R , R ), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R , R ).

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ