Страница 1

Введение.

Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан как , или в неявной форме .

Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде . В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением

.

При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью , или , где скорость распространения волны есть постоянная величина. Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым числом и частотой:

.

В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:

Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны , а мнимая часть - зависимость коэффициента затухания волны от частоты.

Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений . Здесь - матричный оператор, действующий на вектор-столбец .В качестве , например, для акустических волн может служить совокупность переменных (колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн - компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде :

Решение будет нетривиальным, только если . Отсюда получаются искомые зависимости . Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.

Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:

В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения приводит к трансформации частотного спектра волны и дополнительному искажению формы импульса.

§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.

Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид. Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:

Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать

где - константы, т. е. значения и в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями и в той же точке и в тот же момент времени.

При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в предыдущие моменты времени.

Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:

, (1.1)

, (1.2)

Распространение волн в диспергирующих средах

Литература

Общий вид плоской гармонической волны определяется уравнением вида:

u (r , t ) = A exp(i  t  i kr ) = A exp(i ( t  k " r ) – ( k " r )), ()

где k ( ) = k "( ) + ik "( ) – волновое число, вообще говоря, комплексное. Его действительная часть k "( ) = v ф /  характеризует зависимость фазовой скорости волны от частоты, а мнимая часть k "( ) – зависимость коэффициента затухания амплитуды волны от частоты. Дисперсия, как правило, связана с внутренними свойствами материальной среды, обычно выделяются частотная (временная ) дисперсия , когда поляризация в диспергирующей среде зависит от значений поля в предшествующие моменты времени (память), и пространственная дисперсия , когда поляризация в данной точке зависит от значений поля в некоторой области (нелокальность).

Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией

В среде с пространственной и временной дисперсией материальные уравнения имеют операторный вид

Здесь предусматривается суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна). Это – наиболее общая форма линейных материальных уравнений, учитывающая нелокальность, запаздывание и анизотропию. Для однородной и стационарной среды материальные характеристики  ,  и  должны зависеть только от разностей координат и времени R = r – r 1 ,  = t – t 1 :

, (.)

, ()

. ()

Волну E (r , t ) можно представить в виде 4-мерного интеграла Фурье (разложение по плоским гармоническим волнам)

, ()

. ()

Аналогично можно определить D (k ,  ), j (k ,  ). Взяв преобразование Фурье вида (5) от правых и левых частей уравнений (2), (3) и (4), получим с учетом известной теоремы о спектре свертки

, ()

где тензор диэлектрической проницаемости, компоненты которого зависят, в общем случае, и от частоты, и от волнового вектора, имеет вид

. (.)

Аналогичные соотношения получаются и для  i j (k ,  ) и  i j (k ,  ).

Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости

При учете только частотной дисперсии материальные уравнения (7) принимают вид:

D j (r ,  ) =  i j ( ) E i (r ,  ), ()

. ()

Для изотропной среды тензор  i j ( ) обращается в скаляр, соответственно

D (r ,  ) =  ( ) E (r ,  ), . ()

Поскольку восприимчивость  ( ) – действительная величина, то

 ( ) =  "( ) + i  "( ),  "(–  ) =  "( ),  "(–  ) = –  "( ). ()

Совершенно аналогично получаем

j (r ,  ) =  ( ) E (r ,  ), . ()

Вводится также комплексная диэлектрическая проницаемость

. ()

Интегрируя соотношение (11) по частям и учитывая, что  ( ) = 0, можно показать, что

С учетом формулы (14) уравнения Максвелла (1.16) – (1.19) для комплексных амплитуд принимают вид

. ()

Здесь учтено, что 4   = – i 4  div ( E )/  = div (D ) = div ( E ). Соответственно, часто вводится комплексная поляризация и полный ток

. ()

Соотношение Крамерса – Кронига

Запишем комплексную проницаемость (14) с учетом соотношений (11) – (13) в виде

, ()

где  ( ) – функция Хевисайда,  ( < 0) = 0,  (  0) = 1. Но  ( < 0) =  ( < 0) = 0, поэтому  ( )  ( ) =  ( ),  ( )  ( ) =  ( ). Следовательно,

где  ( ) – Фурье-образ функции Хевисайда,

. ()

Таким образом, или

. ()

Аналогично легко получить

. ()

Заметим, что интегралы в соотношениях (19) и (20) берутся в главном значении. Теперь с учетом соотношений (17), (19) и (20) получаем:

Приравнивая мнимые и действительные части в правой и левой частях этого равенства, получим соотношения Крамерса – Кронига

, ()

, ()

устанавливающие универсальную связь между действительной и мнимой частями комплексной проницаемости. Из соотношений Крамерса – Кронига (21), (22) следует, что диспергирующая среда является поглощающей средой.

Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике

Пусть Р = N p = Ne r – объемная поляризация среды, где N – объемная плотность молекул, r – смещение. Колебания молекул под действием внешнего электрического поля описываются моделью Друде – Лоренца (гармонический осциллятор), соответствующей колебаниям электрона в молекуле. Уравнение колебаний одной молекулы (диполя) имеет вид

где m – эффективная масса электрона,  0 – частота нормальных колебаний, m  – коэффициент, описывающий затухание (потери на излучение), Е d = E + 4  P /3 – электрическое поле, действующее на диполь в однородном диэлектрике под действием внешнего поля Е .

Если внешнее поле меняется по гармоническому закону E (t ) = E exp (– i  t ), то для комплексной амплитуды поляризации получаем алгебраическое уравнение

или

Так как D =  E = E + 4  P , то

. ()

Здесь обозначено. Другая форма соотношения (23):

. ()

Из формулы (23) следует, что при    0 . В газах, где плотность молекул невелика, можно принять, тогда

Отсюда в силу формулы (1.31) для показателей преломления и поглощения получаем, учитывая, что tg ( ) =  "/  " << 1:

График этих зависимостей приведен на рис. 1. Отметим, что при    0 получается аномальная дисперсия dn / d  < 0, то есть фазовая скорость волны возрастает с частотой.

Дисперсия в среде со свободными зарядами

Примерами среды со свободными зарядами являются металл и плазма. При распространении в такой среде электромагнитной волны тяжелые ионы можно считать неподвижными, а для электронов записать уравнение движения в виде

В отличие от диэлектрика здесь нет возвращающей силы, так как электроны считаются свободными, а  – частота соударений электронов с ионами. В гармоническом режиме при E = E exp (– i  t ) получим:

тогда

, ()

где – плазменная , или ленгмюровская частота.

Проводимость такой среды естественно определить через мнимую часть проницаемости:

. ()

В металле  <<  ,  p <<  ,  ( )   0 = const ,  ( ) чисто мнимая, поле в среде существует только в скин-слое толщиной d  (kn ) -1 <<  , R  1.

В разреженной плазме  ~ (10 3 ... 10 4 ) c -1 и при  >>  проницаемость  ( ) чисто действительная, то есть

– ()

дисперсионное уравнение , его график приведен на рис. Отметим, что при

 >  p коэффициент преломления n действительный и волна свободно распространяется, а при  <  p коэффициент преломления n мнимый, то есть волна отражается от границы плазмы.

Наконец, при  =  p получаем n = 0, то есть  = 0, значит, D =  E = 0. Соответственно, в силу уравнений Максвелла (1.16) и (1.19) rot H = 0, div H = 0, то есть Н = const . В этом случае из уравнения (1.17) следует, что rot Е = 0, то есть

E = – grad  – потенциальное поле. Следовательно, в плазме возможно существование продольных (плазменных ) волн.

Волны в средах с пространственной дисперсией

При учете и пространственной, и временной дисперсии уравнение электромагнитного поля для плоских волн имеет вид (7) с материальными уравнениями вида (8):

Соответственно, для плоских гармонических волн при  = 1 уравнения Максвелла (15) с учетом соотношения (1.25) принимают вид:

Умножим второе из соотношений (28) слева векторно на k и, учитывая первое соотношение, получим:

В тензорных обозначениях с учетом соотношения (7) это означает

Здесь, по-прежнему, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, в данном случае по j .

Нетривиальные решения системы уравнений (29) существуют при равенстве нулю ее определителя

Это условие задает в неявном виде закон дисперсии  (k ). Для получения явного вида необходимо рассчитать тензор диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим случай слабой дисперсии, когда ka << 1, где а – характерный размер неоднородности среды. Тогда можно считать, что  i j (R ,  ) отлично от нуля лишь при | R | < a . Экспоненциальный же множитель в уравнении (8) заметно меняется лишь при | R | ~ 2  / k =  >> a , то есть экспоненту можно разложить в ряд по степеням R :

exp (– i kR ) = 1 – ik l x l – k l k m x l x m /2 + ... , l , m = 1, 2, 3.

Подставляя это разложение в уравнение (8), получим

Поскольку при слабой дисперсии интегрирование по R в уравнении (30) выполняется в области размером порядка а 3 , то

Введем вектор n = k  / c и перепишем уравнение (30) в виде:

, ()

где обозначено.

Поскольку все компоненты  i j тензора восприимчивости – действительные величины, то из уравнения (8) следует свойство эрмитовой сопряженности тензора диэлектрической проницаемости. Для среды с центром симметрии тензор диэлектрической проницаемости так же симметричен:  i j (k ,  ) =  j i (k ,  ) =  i j (– k ,  ), при этом разложение  i j (k ,  ) по k содержит только четные степени k . Такие среды называются оптически неактивными или негиротропными .

Оптически активной может быть только среда без центра симметрии. Такая среда называется гиротропной и описывается несимметричным тензором диэлектрической проницаемости  i j (k ,  ) =  j i (– k ,  ) =  * j i (k ,  ).

Для изотропной гиротропной среды тензор  i j ( ) является скаляром,

 i j ( ) =  ( )  i j , а антисимметрические тензоры второго ранга  i j l n l и g i j l n l в соотношении (31) – псевдоскалярами, то есть  i j l ( ) =  ( ) е i j l , g i j l ( ) = g ( ) е i j l , где е i j l – единичный полностью антисимметричный тензор третьего ранга. Тогда из соотношения (31) получаем для слабой дисперсии (a <<  ):

 i j (k ,  ) =  ( )  i j – i  ( ) е i j l n l .

Подставляя это выражение в уравнение (29), получим:

или в координатной форме, направляя ось z вдоль вектора k ,

Здесь n = n z , k = k z =  n / c .

Из третьего уравнения системы следует, что E z = 0, то есть волна поперечная (в первом приближении для слабо гиротропной среды). Условие существования нетривиальных решений первого и второго уравнений системы – равенство нулю определителя: [ n 2 –  ( )] 2 –  2 ( ) n 2 = 0. Поскольку a <<  , то и

 2 /4 <<  , поэтому

. ()

Двум значениям n 2 соответствуют две волны с правой и левой круговой поляризацией, из соотношения (1.38) следует, что. При этом, как следует из соотношения (32), фазовые скорости этих волн различны, что приводит к повороту плоскости поляризации линейно поляризованной волны при распространении в гиротропной среде (эффект Фарадея).

Распространение волнового пакета в диспергирующей среде

Носителем информации (сигналом) в электронике является модулированная волна. Распространение плоской волны в диспергирующей среде описывается уравнением вида:

, ()

Для электромагнитных волн в среде с временной дисперсией оператор L имеет вид:

Пусть диспергирующая среда занимает полупространство z > 0 и на ее границе задан входной сигнал u (t , z = 0) = u 0 (t ) с частотным спектром

. ()

Так как линейная среда удовлетворяет принципу суперпозиции, то

. ()

Подставляя соотношение (35) в уравнение (33), можно найти закон дисперсии k ( ), который будет определяться видом оператора L (u ). С другой стороны, подставляя соотношение (34) в уравнение (35), получим

. ()

Пусть сигнал на входе среды является узкополосным процессом, или волновым пакетом u 0 (t ) = A 0 (t ) exp (– i  0 t ), | dA 0 (t )/ dt | <<  0 A 0 (t ), то есть сигнал является ММА-процессом. Если  <<  0 , где F ( 0   ) = 0,7 F ( 0 ), то

()

и волновой пакет (36) можно записать в виде u (z , t ) = A (z , t ) exp (i (k 0 z –  0 t )), где

. ()

В первом приближении теории дисперсии ограничиваются линейным разложением. Тогда внутренний интеграл по  в уравнении (38) превращается в дельта-функцию:

u (z , t ) = A 0 (t – zdk / d  )exp(i (k 0 z –  0 t )), ()

что соответствует распространению волнового пакета без искажения с групповой скоростью

v гр = [ dk ( 0 )/ d  ] -1 . ()

Из соотношения (39) видно, что групповая скорость – это скорость распространения огибающей (амплитуды) A (z , t ) волнового пакета, то есть скорость передачи энергии и информации в волне. Действительно, в первом приближении теории дисперсии амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядка:

. ()

Умножая уравнение (41) на А * и складывая его с комплексным сопряжением уравнения (41), умноженным на А , получим

,

то есть энергия волнового пакета распространяется с групповой скоростью.

Нетрудно видеть, что

.

В области аномальной дисперсии ( 1 <  0 <  2 , рис. 1) возможен случай

dn / d  < 0, что соответствует v гр > c , но при этом существует столь сильное затухание, что не применимы ни сам метод ММА, ни первое приближение теории дисперсии.

Распространение волнового пакета происходит без искажения только в первом порядке теории дисперсии. Учитывая в разложении (37) квадратичное слагаемое, получим интеграл (38) в виде:

. ()

Здесь обозначено  = t – z / v гр , k " = d 2 k ( 0 )/ d  2 = d (1/ v гр )/ d  – дисперсия групповой скорости . Прямой подстановкой можно показать, что амплитуда волнового пакета A (z , t ) вида (42) удовлетворяет диффузионному уравнению

()

с мнимым коэффициентом диффузии D = – id 2 k ( 0 )/ d  2 = – id (1/ v гр )/ d  .

Отметим, что даже если дисперсия очень слаба, а спектр сигнала  очень узкий, так что в его пределах третий член в разложении (37) много меньше второго, то есть  d 2 k ( 0 )/ d  2 << dk ( 0 )/ d  , то на некотором расстоянии от входа в среду искажение формы импульса становятся достаточно большими. Пусть на входе в среду сформирован импульс A 0 (t ) длительностью  и . Раскрыв скобки в показателе экспоненты в соотношении (42), получим:

.

Переменная интегрирования меняется здесь в пределах порядка  и , поэтому если (дальняя зона), то можно положить, тогда интеграл примет вид преобразования Фурье:

,

где – спектр входного импульса, .

Таким образом, импульс в среде с линейной дисперсией групповой скорости в дальней зоне превращается в спектрон – импульс, огибающая которого повторяет спектр входного импульса. При дальнейшем распространении форма импульса не меняется, но увеличивается его длительность при одновременном уменьшении амплитуды.

Из уравнения (43) можно получить некоторые полезные законы сохранения для волнового пакета. Если проинтегрировать по времени выражение

A * L (A ) + AL (A * ), где, то получим закон сохранения энергии:

.

Если проинтегрировать по времени выражение L (A )  A * /  – L (A * )  A /  = 0, то получим второй закон сохранения:

.

Проинтегрировав же по времени само уравнение (43), получим третий закон сохранения:

.

При выводе всех законов сохранения учитывалось, что A ( ) = dA ( )/ d  = 0.

Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде

При наличии потерь закон сохранения электромагнитной энергии (1.33) принимает вид:

 W /  t + div S + Q = 0, ()

где S – вектор Пойтинга вида (1.34), Q – мощность тепловых потерь, которые приводят к уменьшению со временем амплитуды волны. Рассмотрим квазимонохроматические ММА-волны.

()

Используя выражение для дивергенции векторного произведения и уравнения Максвелла (1.16), (1.17), получаем:

.

Подставляя сюда выражения (45) для ММА-полей и усредняя его по периоду колебаний электромагнитного поля Т = 2  /  , что уничтожает быстро осциллирующие компоненты exp (–2 i  0 t ) и exp (2 i  0 t ), получим:

. ()

Будем рассматривать немагнитную среду с  = 1, то есть B 0 = H 0 , и используем материальное уравнение вида (2), связывающее вектора D и E , чтобы получить связь между медленно меняющимися амплитудами полей вида (45) для случая однородной и изотропной среды без пространственной дисперсии

.

В слабо диспергирующей среде  ( ) – почти дельта-функция, то есть за время запаздывания поляризации поле почти не меняется и его можно разложить по степеням  , учитывая только первые два слагаемые:

.

Заметим, что величина в квадратных скобках, как следует из соотношения (11), равна диэлектрической проницаемости среды на частоте  0 , поэтому

.

Для узкополосного процесса производная  D 0 /  t с той же точностью имеет вид

 D 0 /  t =  ( 0 )  Е 0 /  t + ... . Тогда соотношение (46) принимает вид:

()

Для чисто монохроматической волны постоянной амплитуды  dW / dt  = 0, тогда из уравнений (44) и (47) получаем:

. ()

Если пренебречь диссипацией, то есть положить в уравнении (44) Q = 0, а в уравнении (47) в силу соотношения (48)  " = 0,то получим:

,

откуда для средней плотности энергии электромагнитного поля следует

. ()

Литература

Беликов Б.С. Решение задач по физике. М.: Высш. школа, 2007. – 256 с.

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2008. – 464 с.

Геворкян Р.Г. Курс общей физики: Учеб. пособие для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа, 2007. – 598 с.

Детлаф А.А., Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов М.: Высш. школа, 2008 – 608 с,

Иродов И.Е. Задачи по общей физике 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007.-416с.

Кикоин И.К., Китайгородский А.И. Введение в физику. М.: Наука, 2008. – 685 с.

Рыбаков Г.И. Сборник задач по общей физике. М.: Высш. школа, 2009.-159с.

Рымкевич П.А. Учебник для инж.- эконом. спец. ВУЗов. М.: Высш. школа, 2007. – 552 с.

Савельев И.В. Сборник вопросов и задач 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007.-288с.

10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекул. физика М.: Наука, 2009. – 551 с.

11. Трофимова Т.И. Курс физики М.: Высш. школа, 2007. – 432 с. .

12. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М.: Высш. школа, 2008.-350с

13. Чертов А.Г. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. Для ВУЗов. Под. ред. А.Г Чертова М.: Высш. школа, 2007.-510с.

14. Шепель В.В. Грабовский Р.И. Курс физики Учебник для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.:Высш. школа, 2008. - 614 с.

15. Шубин А.С. Курс общей физики М.: Высш. школа, 2008. – 575 с.

ДИСПЕРСИЯ ВОЛНЫ

ДИСПЕРСИЯ ВОЛНЫ , разделение единой волны на волны различной длины. Обусловлено тем, что КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЛОМЛЕНИЯ среды различен для различной длины волны. Это происходит с любым электромагнитным излучением, но наиболее заметно для волн видимого диапазона, когда луч света разлагается на составляющие цвета. Дисперсию можно наблюдать при прохождении луча света через преломляющую среду, например, стеклянную ПРИЗМУ, в результате чего появляется СПЕКТР. Каждый цвет имеет свою длину волны, так что призма отклоняет разные цветовые составляющие луча на разные углы. Красный (большая длина волны) отклоняется меньше, чем фиолетовый (длина волны меньше). Дисперсия может вызывать хроматическую АБЕРРАЦИЮ линз. см. также РЕФРАКЦИЯ .

Научно-технический энциклопедический словарь .

Смотреть что такое "ДИСПЕРСИЯ ВОЛНЫ" в других словарях:

Волна изменение состояния среды (возмущение), распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. Другими словами: «…волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой… … Википедия

- (дисперсия скорости звука), зависимость фазовой скорости гармонич. звук. волн от их частоты. Д. з. может быть обусловлена как физ. св вами среды, так и присутствием в ней посторонних включений и наличием границ тела, в к ром авук. волна… … Физическая энциклопедия

Зависимость преломления показателя n в ва от частоты n (длины волны l) света или зависимость фазовой скорости световых волн от их частоты. Следствие Д. с. разложение в спектр пучка белого света при прохождении его сквозь призму (см. СПЕКТРЫ… … Физическая энциклопедия

Изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Наиболее важные и часто встречающиеся виды В. упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Частными случаями упругих В.… … Физическая энциклопедия

Дисперсия волн, зависимость фазовой скорости гармонических волн от их частоты. Д. определяется физическими свойствами той среды, в которой распространяются волны. Например, в вакууме электромагнитные волны распространяются без дисперсии, в… … Большая советская энциклопедия

Современная энциклопедия

Дисперсия - (от латинского dispersio рассеяние) волн, зависимость скорости распространения волн в веществе от длины волны (частоты). Дисперсия определяется физическими свойствами той среды, в которой распространяются волны. Например, в вакууме… …

- (от лат. dispersio рассеяние), зависимость фазовой скорости vф гармонич. волны от её частоты w. Простейшим примером явл. Д. в. в линейных однородных средах, характеризуемая т. н. дисперс. уравнением (законом дисперсии); оно связывает частоту и… … Физическая энциклопедия

ДИСПЕРСИЯ - ДИСПЕРСИЯ, изменение показателя преломления в зависимости от длины световой волны Я. Результатом Д. является напр. разложение белого света в спектр при прохождении через призму. Для бесцветных, прозрачных в видимой части спектра веществ изменение … Большая медицинская энциклопедия

Волны - Волны: а одиночная волна; б цуг волн; в бесконечная синусоидальная волна; l длина волны. ВОЛНЫ, изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Основное свойство всех волн, независимо от их… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

• Университетский курс общей физики физики. Оптика , Алешкевич Виктор Александрович. Главная особенность учебника - многоуровневая концепция изложения важнейших экспериментальных фактов и основ теории физических явлений с учетом современных научных достижений. Книга включает…

Лекция 13. Обобщение Максвеллом представлений об электромагнитной индукции. Взаимосвязь переменных электрического и магнитного полей. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, их физическое истолкование Сравнительная характеристика электрического и магнитного полей.

Про классическую теорию электромагнитного взаимодействия и его переносчика - электро­магнитное поле - говорят иногда, что электродинамика Максвелла - это уравнения Максвелла. В 60 - ых годах прошлого столетия Максвелл выполнил работу, подобную той, которую два века до него осуществил Ньютон. Если Ньютон довершил создание первой фунда­ментальной теории движения , то Максвелл завершил создание первой теории физического взаимо­действия (электромагнит­ного). Подобно классической механике Ньютона, в основу электродина­мики Максвелла также были положены некоторые предельно фундаментальные и элеме­нтарные соотношения, выраженные уравнениями, получившими имя Максвелла.

Эти уравнения имеют две формы - интегральную и дифференциальную своего выражения и фактически они выражают взаимосвязь характеристик электромаг­нитного поля с характеристи­ками источников (зарядов и токов), это поле по­рождающих. Эта связь не имеет такого простого выражения, как, например связь мер движения и взаимодействия, выражаемая основным законом динамики - вторым законом Ньютона. Поэтому уравнения Максвелла, выражающие основную идею электродинамики - учения об электромагнитном взаимодействии - появ­ляются при её изучении в вузе - лишь в конце курса.

Как и любые другие предельно общие теоретические положения, уравнения Максвелла в рамках самой электродинамики формально не выводятся. Они получаются как результат творче­ского обобщения разнообразного опытно-экспери­ментального материала, и их правильность подтверждается различными следс­твиями и практическими приложениями.

До Максвелла была известна полная система уравнений электро- и магнито­статики и одно уравнение электродинамики - уравнение, выражающее закон электромагнитной индукции. В целом же эта совокупность уравнений не явля­лась полной системой, однозначно задающей состояние элек­тромагнитного по­ля. Для получения такой системы Максвелл произвёл обобщение закона элект­ро­магнитной индукции e = - dФ¤dt, записав его уравнение в интегральной форме:

= -= - (вектор зависит и от t, и от , а поток Ф = - только от t)

Полученное уравнение можно представлять себе как обобщённую на вихре­вое электрическое поле, теорему о циркуляции вектора в электростатике. Здесь Максвелл фак­тически выбросил проводящий контур, который был у Фарадея и который, по Максвеллу, являлся просто индикатором наличия (по индук­ционным токам) вихревого электрического поля в области вокруг изменяющегося магнитного поля.

В представленной Максвеллом форме закона электромагнитной индукции более выпукло просвечивает физическая суть явления, согласно которому переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое (с ненулевой циркуляцией) электрическое поле. Представив так явление электромагнитной индукции, Максвелл смог, опе­ревшись на соображения симметрии, пред­положить возможность существования в природе и обрат­ного электромагнитной индукции эффекта. Его можно назвать магнитоэле­ктрической индукцией, суть которой в том, что изменяющееся во времени элект­рическое поле, порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Формально это записыва­ется так, что циркуляция напряженности магнитного поля равна быстроте изменения во времени потока индукции электрического поля. С учётом же то­го, что магнитное поле с самого начала (со статического состояния) являе­тся вихревым, то есть для него циркуляция всегда не равна нулю, обоб­щённая взаимосвязь магнитного и электрического полей примет вид:

I + I см, где I см =

Здесь быстрота изменения потока индукции электрического поля формально эквивалентна некоторому току. Этот ток называют током смещения . Можно пре­дставить, что этот ток как бы замыкает протекание тока в цепи, например, с конденсаторами, через которые обычный ток прово­димости не протекает. Плотность тока смещения равна быстроте изменения электрического смещения (вектора ): = (¶/¶t). При разряде заряженного конденсатора по проводам протекает ток проводимости, и, кроме того, в пространстве между пластинами убывает (изменяется) электрическое поле.

Быстрота же изменения индукции электрического поля, то есть ¶¤¶t и есть плотность тока смещения . Ток смещения замыкает ток проводимости в разрывах между проводниками. Он, как и ток проводимости, создаёт вокруг себя магнитное поле, а в диэлектрике (там его называют поляри­зационным то­ком) он выделяет тепло - так называемые диэлектрические потери.

Итак, теперь мы можем записать полную систему уравнений единого элек­тромагнитного поля - систему уравнений Максвелла:

В статическом состоянии электрическое (электростатическое) поле порождается только неподвижными (или равномерно движущимися) в данной ИСО электрическими зарядами и является потенциаль­ным (обладает нулевой циркуляцией). Магнитостатическое поле порождается только токами и всегда является непотенциальным (вихревым). Электростатическое поле, имея своими источниками заряды, имеет начало своих сило­вых линий на положительных зарядах и конец - на отрицательных зарядах (или в бесконечности). Магнитное же поле не имеет таких источников, поскольку магнитных монополей до сих пор не обнаружено, и потому его силовые линии даже в статическом состоянии являются замкнутыми, не имея ни начала, ни конца.

В динамическом же, нестационарном состоянии, когда источники полей и сами, порождаемые ими поля, становятся изменяющимися во времени, выявляется новая принципиа­льная особенность электриче­ского и магнитного нестационарных полей. Выясняется, что в этом состоянии они приобретают способность порождать друг друга, становиться источниками друг друга. В результате возни­кает новое нераз­рывно взаимосвязанное состояние единого электромагнитного поля. Первое урав­нение Максвелла, как уже говорилось, указывает на то, что изме­няющееся во времени магнитное поле, порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Второе же уравнение Максвелла говорит о том, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным во времени электрическим полем. В итоге мы можем заключить, что переменные (нестацио­нарные) электрическое и магнитное поля являются взаимными источниками друг друга, и их различие во многом относительно. В нестационарном состоя­нии они способны существовать совершенно само­стоятельно от источников (пе­ременных токов), их породивших, в виде единого неразрывного элек­тромагнитно­го поля.

Последние два уравнения Максвелла указывают на разный характер симметрии электриче­ского и магнитного стационарных полей.

Для решения основной задачи электродинамики, уравнения Максвелла, выра­жающие её основную идею (связь характеристик поля с характеристиками его источников), должны быть дополнены так называемыми материальными уравнения­ми , связывающими характеристики поля с характеристиками вещественной среды. Этими уравнениями являются следующие:

E о e; = m о m и = g, где e и m - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а g - удельная электропроводность среды.

Уравнения Максвелла часто записывают в более компактной - дифференциа­льной форме, которая получается из интегральной формы путём предельного перехода контуров и поверхностей интегрирования к нулю: S ® 0 и L ® 0.

Введем векторный оператор , называемый "набла" и обозначаемый Ñ , как век­тор со следую­щими компонентами: Ñ = (¶/¶х, ¶/¶у, ¶/¶z).

Для любого векторного поля () = (А х, А у, А z) важными являются следующие совокупно­сти дифференциальных операций:

а) скалярная, называемая дивергенцией :Ñ= diu = ¶А х /¶х + ¶А у /¶у + ¶А z /¶z

б) векторная, называемая ротором :

Ñ = rot = (¶А у /¶ z - ¶А я /¶ у) + (¶А z /¶х - ¶А х /¶ z) + (¶А у /¶ Х - ¶А Х /¶ У)

В этих обозначениях уравнения Максвелла в дифференциальной форме, примут следующий вид:

rot= - ¶/¶t ; rot = + ¶/¶t; diu = r; diu = 0

или Ñ = - ¶/¶t ; Ñ = + ¶/¶t; Ñ = r; Ñ = 0

В уравнения Максвелла входят только свободные заряды r и токи проводи­мости . Связан­ные заряды и молекулярные токи входят в эти уравнения неявно - через характеристики среды – диэлектрическую и магнитную проницаемости e и m.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы о циркуляции воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Стокса, связывающей циркуляцию вектора с поверхностным интегралом от ротора этого вектора:

гдеS – поверхность, ограниченная контуром L. Под ротором вектора понимают векторный дифференциальный оператор, задаваемый следующим образом:

rot = (¶Е у /¶z - ¶Е z /¶у) + (¶Е z /¶х - ¶Е х /¶z) + (¶Е x /¶y - ¶Е y /¶x)

Физический смысл ротора вскрывают, устремляя поверхность S к нулю. В пределах достаточно малой поверх­ности ротор вектора можно считать постоянным и вынести за знак интеграла:

= rot× = rot×S.

Тогда, согласно теореме Стокса:rot = (1/S)при S ® 0.

Отсюда ротор вектора можно определить как поверхност­ную плотность циркуляции этого вектора.

Так как в ЭСП циркуляция вектора равна нулю, то равен нулю и ротор вектора :

Это уравнение и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора в ЭСП.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы Остроградского – Гаусса воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Гаусса, связывающей поток вектора по замкнутой поверхности с интегралом от дивер­генции этого вектора по объему, заключенному в этой поверхности:

Под дивергенцией вектора понимают скалярный дифференциальный оператор (совокупность производных), задаваемый следующим образом:

div = ¶Е х /¶х + ¶Е у /¶у + ¶Е z /¶z.

Физический смысл дивергенции вскрывают, устремляя объем V к нулю. В пределах достаточно малого объема дивергенцию вектора можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:

= div× = (1/V) div . Тогда, согласно теореме Гаусса,

div = (1/V)при V ® 0.

Отсюда дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока этого вектора.

Соотнося теорему Остроградского – Гаусса = q å /e о = (1/e о) и теорему Гаусса = , видим, что левые их части равны друг другу. Приравнивая их правые части, получаем:

Это уравнение и представляет собой дифференциальную форму теоремы Остроградского – Гаусса.

Лекция 14. Электромагнитные волны. Объяснение возникновения электромагнит­ных волн с позиций уравнений Максвелла. Уравнение бегущей электромагнитной волны. Волно­вое уравнение. Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Умова - Пойнтинга. Излучение диполя.

Электромагнитные волны представляют собой распространяющиеся в простра­нстве взаимо­связанные колебания электрического и магнитного полей. В отли­чие от звуковых (акустических) волн, электромагнитные волны могут распро­страняться в вакууме.

Качественно механизм возникновения свободного (от источников в виде электрических зарядов и токов) электромагнитного поля может быть пояснён на основе анализа физической сущности уравнений Максвелла. Два фундамента­льных эффекта, отображаемых уравнениями Максвелла - электромагнитная инду­кция (порождение переменным магнитным полем переменного вихревого электри­ческого поля) и магни­тоэлектрическая индукция (порождение переменным элек­трическим полем переменного магнит­ного поля) приводят к возможности эле­ктрического и магнитного переменных полей быть взаимными источниками друг друга. Взаимосвязанное изменение электрического и магнитного полей и пре­дставляет собой единое электромагнитное поле, которое способно в вакууме распро­страняться со скоростью света
с = 3×10 8 м/с. Это поле, способное существовать совершенно незави­симо от зарядов и токов и вообще от вещества и представляет собой второй (на­ряду с веществом) - полевой вид (форму) существования материи.

В опыте электромагнитные волны были обнаружены в 1886 г Г. Герцем, спустя 10 лет после смерти, предсказавшего теоретически их существование Максвелла. Из уравнений Максвелла в непроводящей среде, где r = 0 и = 0, взяв операцию ротора от первого уравнения и подставив в него выражение для rot из второго уравнения, получим:

rot= - ¶/¶t = - m о m¶/¶t; rot rot= -m о m¶/¶t(rot) = - m о me о e¶ 2 /¶t 2 = - (1/u 2)¶Е 2 /¶t 2 rot = ¶/¶t = e о e ¶/¶t;

Из векторного анализа известно, что rot rot = grad div– D, но grad divº 0 и тогда

D= 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 , где D = ¶ 2 /¶х 2 + ¶ 2 /¶у 2 + ¶ 2 /¶z 2 - оператор Лапласа - сумма вторых частных производных по пространственным координатам.

В одномерном случае получаем дифференциальное уравнение в частных производных, называемое волновым :

¶ 2 /¶х 2 - 1/u 2)¶ 2 /¶t 2 = 0

Такого же типа уравнение получается и для индукции магнитного поля. Его решением является бе­гущая плоская монохроматическая волна, задавемая уравнением:

Cos (wt – kх + j) и =cos (wt – kх + j) , где w/k = u = 1/Ö(m о me о e) - фазовая скорость волны.

Векторы и изменяются синфазно во времени, но во взаимно перпенди­кулярных плоскостях и перпендикулярно направлению распространения (скорости волны): ^ , ^ , ^ .

Свойство взаимоперпендикулярности векторов и и и позволяет отнести электромагнит­ную волну к поперечным волнам .

В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света u = с = 1/Ö(e о m о) = 3×10 8 м/с, а в вещественной среде волна замедляется, ее скорость убывает в Ö(em) раз, то есть u = с/Ö(em) = 1/Ö(e о m о em).

В каждой точке пространства значения векторов и пропорциональны друг другу. Отношение напряжённостей электрического и магнитного полей определяется электрическими и магнитными свойствами (проницаемостями e и m) среды. Это выражение связано с равенством объемных плотностей энергий w э и w м электрического и магнитного полей волны:

w э = e о eЕ 2 /2 = w м = m о mН 2 /2 Þ Е/Н = Ö(m о m/e о e).

Отношение Е/Н, как нетруд­но видеть, имеет размерность сопротивления: В/м: А/м = В/А = Ом. Применительно к вакууму, например, Е/Н = Ö(m о /e о) = 377 Ом - называется волновым сопро­тивлением вакуума. Отношение же Е/В = 1¤Ö(e о m о) = с = 3×10 8 м/с (в вакууме).

Распространя­ющиеся в пространстве электромагнитные колебания (электромагнитные волны) переносят энергию без переноса вещества - энергию электрического и магнит­ного полей. Ранее мы получали выражения для объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

w э = e о eЕ 2 /2 и w м = m о mН 2 ¤2 [Дж /м 3 ].

Основной характеристикой переноса энергии волной является вектор пло­тности потока энергии, называемый (применительно к электромагнитным волнам) вектором Пойнтинга , численно равный энергии, переносимой через единицу пло­щади поверхности нормальной к направлению распространения волны, за единицу времени : = Дж/м 2 с = Вт/м 2 .

За единицу времени через единичную площадку пройдёт вся та энергия, ко­торая содержится в объеме V параллелепипеда (цилиндра) с основанием в 1 м 2 и высотой равной скорости u распростра­нения волны, то есть пути, проходимому волной за единицу времени:

S = wV = wu = (w э + w м)¤Ö(e о m о em) = e о eЕ 2 ¤2Ö(e о m о em) + m о mН 2 ¤2Ö(e о m о em) = [Ö(e о e ¤m о m)]Е 2 /2 + [Ö(m о m ¤e о e)] Н 2 /2.

Так как Е/Н = Ö(m о m/e о e), то S = ЕН/2 + НЕ/2 = ЕН.

В векторной форме вектор Пойнтинга выразится как произведение векторов напряженностей электрического и магнитного полей: = = w.

Простейшим излучателем электромагнитных волн служит электрический диполь, момент которого изменяется с течением времени. Если изменения электри­ческого момента носят повто­ряющийся, периодический характер, то такой "ко­леблющийся диполь" называется осциллятором или элементарным вибратором. Он представляет собой простейшую (элементарную) модель излу­чательной сис­темы в электродинамике. Любой электронейтральный излучатель с размерами L << l в так называемой волновой или дальней зоне (при r >> l) имеет та­кое же поле (характер распреде­ления в пространстве) излучения, как и ос­циллятор с равным дипольным моментом.

Осциллятор называют линейным или гармони- ческим, если у него дипольный момент изменяется по гармониче­скому закону: Р = Р м sin wt; Р м = ql .

Как показывает теория излучения, мгновенная мощность N излучения элек­тромагнитных волн гармони­ческим осциллятором пропорциональна квадрату вто­рой производной изменения его дипольного момента, то есть:

N ~ ïd 2 Р/dt 2 ï 2 ; N = m о ïd 2 Р/dt 2 ï 2 /6pс = m о w 4 Р м 2 sin 2 wt/6pс.

Средняя мощноcть < N > излучения диполя за период колебаний равна:

< N > = (1/Т)N dt = m о w 4 Р м 2 /12pс

Обращает на себя внимание четвертая степень частоты в формуле для мощности излучения. Во многом поэтому для передачи радио- и телеинформации используются высокочастотные несущие сигналы.

Диполь излучает неодинаково в различных направлениях. В волновой (дальней) зоне интен­сивность J излучения диполя: J ~ sin 2 q ¤r 2 , где q - угол между осью диполя и направлением излу­чения. Зависимость J (q) при фиксированном r называется полярной диаграммой направленности излучения диполя. Она имеет вид восьмёрки. Из неё видно, что диполь сильнее всего излучает в направлении q = p/2, то есть в плоскости перпендикулярной оси диполя. Вдоль собственной оси, то есть при q = 0 или q = p, диполь совершенно не излучает электромагнитные волны.

Уравнение бегущей монохроматической волны Е = Е м cos (wt – kх + j) является идеализа­цией реального волнового процесса. В действительности ему должна соответствовать бесконечная во времени и пространстве последовате­льность горбов и впадин, перемещающаяся в положитель­ном направлении оси х со скоростью u = w/k. Эта скорость называется фазовой, ибо представляет собой быстроту перемещения в пространстве эквифазовой поверхности (поверх­ности постоянной фазы). Действительно, уравнение эквифазовой поверхности имеет вид: Ф = (wt – kх + j) = const или, иначе, dФ = 0, то есть wdt - kdх = 0, откуда dх/dt = u = w/k.

Реальные волновые процессы ограничены во времени, то есть имеют начало и конец, и у них меняется амплитуда. Их аналитическое выражение может быть представлено в виде набора, группы, пакета волн (монохроматических):

Е =Е м w cos (wt – k w х + j w)dw

с близкими частотами, лежащими в узком интервале от w - Dw/2 до w + Dw/2, где Dw << w и близ­кими (не сильно различающимися) спектральными плотностями амплитуды Е м w , волновыми числами k w и начальными фазами j w .

При распространении в вакууме волны любой частоты имеют одинаковую фазовую ско­рость u = с = 1¤Ö(e о m о) = 3×10 8 м/с, равную скорости света. В вещественной среде за счёт взаимодействия электромагнитной волны с заряженными частицами (электронами прежде всего) скорость распространения волн начинает зависеть от свойств среды, её диэлектрической, и магнитной проницаемостей, согласно формуле: u = 1/Ö(e о m о em).

Диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества оказываются зави­сящими от частоты (длины) электромагнитной волны, а, следо­вательно, и фазовая скорость распро­странения волны в веществе оказывается разной для разных её частот (длин волн). Этот эффект называется дисперсией электромагнитных волн, а среды называют диспергирующими. Веществен­ная среда может быть не диспергирующей лишь в некотором, не очень широком диапазоне частот. Совершенно не диспергирующей средой является лишь вакуум.

При распространении в диспергирующей среде волнового пакета , составляю­щие его волны с различающимися частотами будут обладать различными скорос­тями и с течением времени будут "разъезжаться" друг относительно друга. Волновой пакет будет в такой среде постепенно расплываться, рассеиваться, что и отражается термином "дисперсия".

Для характеристики скорости распространения волнового пакета как це­лого принимают скорость распространения его максимума - центра пакета волн с наибольшей амплитудой. Эту скорость называют групповой и, в отличие от фазовой скорости u = w/k, она определяется не через отношение w/k, а через производную u = dw/dk.

Естественно, что в вакууме, то есть в отсутствие дисперсии, фазовая ско­рость (быстрота переме­щения эквифазовой поверхности) и групповая (быстрота переноса энергии волной) совпа­дают и равны скорости света. Понятие групповой скорости, определяемое через производную (быстроту изменения угловой часто­ты с ростом волнового числа) применимо только для несильно дисперги­рующих сред, где не очень сильное поглощение электромагнитных волн. Получим фор­мулу взаи­мосвязи групповой и фазовой скоростей:

u = dw/dk = u - (kl/k)×du/dl = u - l×du/dl.

В зависимости от знака производной du/dl, групповая скорость u = u - l×du/dl может быть как меньше, так и больше фазовой скорости u электромагнитной волны в среде.

В отсутствие дисперсии du/dl = 0, и групповая скорость равна фазовой. При положительной производной du/dl > 0, групповая скорость меньше фазовой, имеем случай, называемый нормаль­ной дисперсией . При du/dl < 0, групповая скорость волн больше фазовой: u > u, этот слу­чай дисперсии называют аномальной дисперсией.

Причины и механизм явления дисперсии просто и наглядно можно проиллюстри­ровать на примере прохождения электромагнитной волны через диэлектрическую среду. В ней переменное электрическое поле взаимодействует со связанными в атомах вещества внешними электронами. Напряжённость электрического поля электромагнитной волны играет для электрона роль периоди­ческой вынуждающей силы, навязывающей ему вынужденное колебательное движение. Как мы уже ана­лизировали, амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты выну­ждающей силы, и в этом и кроются причины дисперсии электромагнитных волн в веществе и зави­симости диэлектрической проницаемости вещества от частоты электромагнитной волны.

При смещении электрона, связанного с атомом, на расстояние х от положения равновесия, атом прибретает дипольный момент р = q е х, а образец в целом - есть макродиполь с поляризованностью Р = nр = nq е x, где n - число атомов в единице объёма, q е – заряд электрона.

Из связи векторов и можно выразить диэлектрическую восприимчивость a, проницаемость e, а затем скорость u электромагнитной волны в веществе:

Р = e о aЕ = nq е х Þ a = nq е х/e о Е; e = 1 + a = 1 + nq е х/e о Е; u = с/Ö(em) » с/Öe (при m » 1). Для небольших х: u = с/Ö(1 + nq е х/e о Е) » с/(1 + nq е х/2e о Е).

Отталкиваясь от второго закона Ньютона для упруго связанного с атомом электрона, находящегося в возмущающем электрическом поле Е = Е м cos wt электромаг­нитной волны, найдём его смещение х от положения равновесия в атоме. Полагаем, что смещение х электрона изменяется по закону вынуждающей силы, то есть х = Х м соs wt.

ma = - kх – ru + F вын; mх ¢¢ = - kх – rх ¢ + q е Е, или, при r = 0 Þ х ¢¢ + w о 2 х = q е Е м cos wt/m,

где w о 2 = k/m – собственная частота колебаний электрона, упруго связанного с атомом.

Подставляем решение х = Х м соs wt в полученное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний электрона:

W 2 х + w о 2 х = q е Е м cos wt/m Þ х = q е Е м cos wt/ = q е Е/

Подставляем полученное выражение для смещения х в формулу для фазовой скорости электромагнитной волны:

u » с/(1 + nq е х/2e о Е) = с/

На частоте w = w о фазовая скорость u электромагнитной волны обращается в ноль.

На некоторой частоте w р, при которой nq е 2 /me о (w о 2 - w р 2) = - 1, фазовая скорость волны претерпевает разрыв. Значение этой «резонансной» частоты w р = w о + nq е 2 /me о » 10 17 с -1 .

Изобразим полученную зависимость фазовой скорости от частоты и от длины волны. Разрывный характер зависимости u(w), называемой дисперсионной, связан с тем, что мы пренебрегли сопротивлением среды и диссипа­цией энергии колебаний, положив коэффициент сопротивления r = 0. Учет трения приводит к сглаживанию дисперсионной кривой и устранению разрывов.

Так как частота w и длина волны l обратно пропорциональны (w = 2pn = 2pс/l), то график дисперсионной зависимости u(l) обратен графику u(w).

На участке нормальной дисперсии 1 - 2 фазовая скорость u больше скорости света в вакууме. Это не противоречит теории относительности, ибо реальный сигнал (информация, энергия) передаются с групповой скоростью u, которая здесь меньше скорости света.

Групповая скорость u = u - l×du/dl превышает скорость света с в вакууме на участке аномальной дисперсии 2 – 3, где фазовая скорость u убывает с ростом длины волны l и производная du/dl < 0. Но в области аномальной дисперсии имеет место сильное поглощение, и понятие групповой скорости становится неприменимым.

Лекция 16. Представления о пространстве и времени в современной физике. Объединение пространства со временем в СТО. Относительность классических понятий одновременности, длины и длительности.

В 1905 г А. Эйнштейн впервые оформил в теоретическую систему кинематические, т. е. простран­ственно-временные представления, «подсказанные» опытом анализа движений с большими, так называемыми релятивистскими (соизмери­мыми со скоростью света с = 3×10 8 м/с в вакууме) скоростями.

В механике Ньютона пространственно-временные представления специ­ально не выделялись и фактически считались очевидными, согласующимися с наглядным опытом медленных движений. Однако предпринятые в XIX в попытки объяснить исходя из этих представлений особенности распространения такого релятивистского объекта как свет, приводили к противоречию с опытом (опыт Майкельсона, 1881 г, 1887 г. и др.). Анализируя возникшую проблемную ситуацию, А. Эйнш­тейн сумел в 1905 г сформулировать два основополагающих утверждения, на­зываемых постулатами (принципами), согласующихся с опытом релятивистских (высокоскоростных) движений. Эти утверждения, получившие название посту­латов Эйнштейна, составили основу его специальной (частной) теории отно­сительности.

1. Принцип относительности Эйнштейна: все законы физики инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета (ИСО), т. е. в любых ИСО законы физики имеют одинаковый вид, не зависят от произвола субъекта (ученого) в выборе ИСО. Или, иначе - все ИСО равноправны, отсутствует какая-либо привилегированная, избранная, абсолютная ИСО. Или, еще - никакими физи­ческими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя определить, движется она с постоянной скоростью или покоится. Этот принцип согласуется с принципом объективности познания.

До Эйнштейна в механике был известен принцип относительности Галилея, который был ограничен рамками только механических явлений и законов. Эйнштейн фактически обобщил его на любые физические явления и законы.

2. Принцип инвариантности (постоянства) и предельности скорости света. Скорость света в вакууме конечна, одинакова во всех ИСО, т. е. не зависит от относительного движения источ­ника и приемника света и является преде­льной скоростью передачи взаимодействий. Этот принцип закреплял в физике концепцию близкодействия, сменившую господствовавшую ранее концепцию дальнодействия, основывающуюся на гипотезе о мгновенности передачи взаимо­действий.

Из двух принципов (постулатов) Эйнштейна вытекают важнейшие для кинематики, более общие, чем классические (галилеевские) преобразования, то есть фор­мулы взаимосвязи пространственных и временной координат x, y, z, t одного и того же события, наблюдаемого из разных ИСО.

Возьмем частный случай выбора двух ИСО, при котором одна из них, обозначае­мая (К), дви­жется относительно дру­гой, обозначаемой (К ¢), со скоростью V вдоль оси х. В начальный момент времени начала координат О и О ¢ обеих ИСО сов­падали, и оси Y и Y ¢ , а также Z и Z ¢ , тоже совпа­дали. Для этого случая формулы преобразова­ния пространственно-временных координат одного и того же события при переходе от одной ИСО к другой, назы­ваемые преобразованиями Лоренца, имеют следующий вид:

х ¢ = (х - Vt)/Ö(1 - V 2 /с 2); у ¢ = у; z ¢ = z; t ¢ = (t - Vх/с 2)/Ö(1 - V 2 /с 2) -

Прямые преобразования Лоренца (из ИСО (К) в ИСО (К ¢);

х = (х ¢ + Vt ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2); у = у ¢ ; z = z ¢ ; t = (t ¢ + Vх ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2) -

Обратные преобразования Лоренца (из ИСО (К ¢) в ИСО (К).

Преобразования Лоренца являются более общими, по сравнению с преобразованиями Галилея, которые они содержат в себе как частный, предельный случай, справедливый при малых, дорелятивистских скоростях (u << с и V << с) движений тел и ИСО. При таких, «клас­сических» скоростях, Ö(1 – V 2 /с 2) » 1, и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:
х ¢ = х - Vt; у ¢ = у; z ¢ = z; t ¢ = t и х = х ¢ + Vt ¢ ; у = у ¢ ; z = z ¢ ; t = t ¢

В таком соотношении формул преобразования Лоренца и Галилея находит свое проявле­ние важный методологический принцип научно-теоретического познания - принцип соответст­вия. Согласно принципу соответствия, научные теории диалектически развиваются по пути ступенчатого обобщения - расширения своей предметной области. При этом более общая теория не от­меняет прежнюю, частную, а лишь вскрывает ее ограниченность, очерчивает границы и пределы ее справедливости и применимости, и сама сводится к ней в области этих границ.

Термин "специальная" в названии теории относительности Эйнштейна озна­чает как раз, что она сама является ограниченной (частной) по отношению к другой, тоже созданной А. Эйнштейном теории, получавшей название "общая теория относительности". Она обобщает специальную теорию относительности на любые, не только инерциальные системы отсчета.

Из преобразований Лоренца вытекает ряд кинематических следствий, про­тиворечащих наглядным классическим представлениям и давшим основание назвать релятивистскую кине­матику и релятивистскую механику в целом теорией относительности.

Что же относительно, то есть, зависимо от выбора ИСО в СТО? Прежде всего, относи­тельным оказывается факт одновременности двух событий, а также длина тела и длительность процесса. В релятивистской динамике в разряд относительных переходит сила, а у некоторых ученых и масса. Следует, однако, помнить, что главным в любой теории является не относительное, а инвариантное (устойчивое, сох­раняющееся, неизменное). Релятивистская механика, вскрывая относительность одних понятий и величин, заменяет их другими инвари­антными величинами, такими, например, как комбинация (тензор) энергии-импульса.

1. Относительность одновременности собы­тий.

Пусть в ИСО (К) происходят два события, зада­ваемые координатами x 1, y 1, z 1 , t 1 и x 2, y 2, z 2 , t 2 , причем t 1 = t 2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одно­временно.

Громадной заслугой Эйнштейна явилось привлечение внимания к тому, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определе­но, как фиксиро­вать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, пред­полагающим бесконечной скорость распро­странения взаимодействий (что дос­таточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что раз­несенность событий в пространстве не может влиять на характер их времен­ного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления фак­та одновремен­ности разноместных событий, основанный на размещении в этих местах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент t о, они покажут время t х = t о + х/c.

Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим предельно высо­кой, но не бесконечной скоростью, то часы, синхро­низи­ро­ванные в одной ИСО, окажутся разсинхрони­зиро­ванными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и относительность временных и пространственных интерва­лов (длительностей и длин).

Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца:
в ИСО (К ¢) событию 1 соответствует момент времени t 1 ¢ = (t 1 - Vх 1 /с 2)/Ö(1 - V 2 /с 2), а событию 2 ® момент t 2 ¢ = (t 2 – Vх 2 /с 2)/Ö(1 – V 2 /с 2), так, что при t 1 = t 2 , t 2 ¢ – t 1 ¢ = [(х 1 – х 2)V/с 2 ]/Ö(1 – V 2 /с 2), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К ¢).

В классическом (дорелятивистском) пределе, при V << с, t 2 ¢ – t 1 ¢ » 0, факт одновременно­сти двух событий становится аб­солютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с ® ¥ или с >> V.

В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолют­ной лишь
в частном случае одноместных событий: при х 1 = х 2 всегда при t 1 = t 2 и t 1 ¢ = t 2 ¢ .

2. Относительность длины тел (пространственных интервалов).

Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной l о = х 2 – х 1 .

ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственны­ми.

В ИСО (К ¢), относительно которой стержень движется, и которая называется лаборатор­ной ИСО, длина стержня l ¢ = х 2 ¢ - х 1 ¢ определяется как разность координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t 1 ¢ = t 2 ¢ .

Используя формулы преобразований Лоренца для х 1 и х 2 , содержащие время в штрихованной ИСО (К ¢), установим взаимосвязь l и l ¢ :

х 1 = (х 1 ¢ + Vt 1 ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2); х 2 = (х 2 ¢ + Vt 2 ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2); Þ х 2 - х 1 = (х 2 ¢ - х 1 ¢)/Ö(1 - V 2 /с 2)

или окончательно: l ¢ = l о Ö(1 - V 2 /с 2) – эта формула выражает закон прео­бразования длин
(пространственных интервалов), согласно которому в на­правлении перемещения размеры тел сокращаются. Этот эффект относитель­ности длины тел, их релятивистского сокращения в направлении перемещения, является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамичес­ким, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным с выбранным способом определения (измерения) длины и конечно­стью скорости распростране­ния взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчета (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).

Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естест­венно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медлен­ных движений) он и не обращал на себя внимания.

Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотно­шения между длительностями двух процессов, измеряемыми из разных ИСО, одна из которых является собст­венной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разностьмоментов конца и начала процесса)  о одними и теми же часами, приводит к следующим результатам:

  =  о (1 - V 2 с 2), где  о - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а   - длительность того же процесса, от­считываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.

Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных, и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокра­щения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процес­са часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости пред­ставляет собой опыт с мю-мезонами, нестабильными частицами, образую­щимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих ее космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть до­лететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.

Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчетах соб­ственное время жизни -мезонов  о = 210 -6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть
l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый -мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращенной", "укороченной" соответственно множителю (l –V 2 /с 2). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрас­тает пропорционально 1/(l–V 2 /с 2). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами в реальном эксперименте и явлении природы.

При малых скоростях V  с релятивистская формула преобразо­вания длительностей процессов переходит в классическую     . Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет реля­тивистскую относительность и становится абсолютной, т. е. не зависящей от выбора ИСО.

Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х  , t и t  , в формулах преобра­зований Лоренца и, поделив dх на dt и dх  на dt  , то есть, образовав из них скорости
 х = dх/dt и  х  = dх  /dt  .

dх = (dх  + Vdt )/(l –V 2 /с 2); dt = (dt  + Vdх  /с 2)/(l –V 2 /с 2); 

dх/dt = (dх  + Vdt )/(dt  + Vdх  /с 2) = (dх  /dt  + V)/   х = ( х  + V)(1 + V х  /с 2)

dх  = (dх - Vdt)/(l –V 2 /с 2); dt  = (dt - Vdх/с 2)/(l –V 2 /с 2); 

dх  /dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с 2) = (dх/dt - V)/   х  = ( х - V)(1 - V х /с 2)

Формулы  х = ( х  + V)(1 + V х  /с 2) и  х  = ( х - V)(1 - V х /с 2) и выражают собой
реля­тивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей
при пере­ходе от ИСО (К) к ИСО (К ) и наоборот.

В дорелятивистском пределе малых скоростей   c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложе­ния скоростей:  х =  х  + V и  х  =  х – V.

Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К ) имеем скорость  х  = с и ИСО (К ) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по пре­жнему равна с:

 х = ( х  + V)(1 + V х  /с 2) = (с + с)(1 + сс/с 2) = с. Классический же закон сложения приводил к результату:  х =  х  + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал
в себе ограничений на "потолок" скоростей.

2000

/

Декабрь

Дисперсия электромагнитных волн в слоистых и нестационарных средах (точно решаемые модели)

А.Б. Шварцбург а,б
а Объединенный институт высоких температур РАН, ул. Ижорская 13/19, Москва, 127412, Российская Федерация
б Институт космических исследований РАН, ул. Профсоюзная 84/32, Москва, 117997, Российская Федерация

Распространение и отражение электромагнитных волн в слоистых и нестационарных средах рассматривается в рамках единого подхода с помощью точных аналитических решений уравнений Максвелла. При таком подходе пространственная структура волновых полей в неоднородных средах представляется функцией от оптической длины пути, пройденного волной (одномерная задача). Эти решения выявляют сильные эффекты как нормальной, так и аномальной дисперсии волн в заданной среде, зависящие от градиента и кривизны непрерывного гладкого профиля неоднородной диэлектрической проницаемости ε(z ). Влияние такой нелокальной дисперсии на отражение волн представлено с помощью обобщенных формул Френеля. Построены точно решаемые модели влияния монотонной и осциллирующей зависимости ε(t ) на дисперсию волн, обусловленную конечным временем релаксации диэлектрической проницаемости.